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lundi 1er août 2022

  • Projet APOGEE

    Pascal Dimaiolo :


    Le projet '''APOGEE''' (Analyse des POlitiques de GEstion du risque et de leur mise en oEuvre dans un cadre territorial et de développement durable) a été financé par la Fédération de Recherche Eccorev.

    Le projet a été réalisé en collaboration entre '''l’UMR RECOVER (portage du projet), l’UMR ESPACE et le LIEU'''.


    En France, la règlementation portant sur la gestion du risque relève du niveau territorial où sont également mises en œuvre des politiques de protection de l’environnement et d’aménagement du territoire. Par ailleurs, les politiques de gestion des risques sont traduites concrètement dans les territoires concernés par des mesures notamment structurelles. Cependant, il n’existe pas de méthode permettant de caractériser la durabilité de ces mesures. Partant de ces constats, deux résultats principaux ont ainsi été produits dans le projet.

    Le premier concerne le développement d’une méthode d’analyse des politiques environnementales françaises sur la prévention des risques naturels et la protection de l’environnement, dans un cadre d’aménagement. Elle comprend le recensement des textes réglementaires, l’analyse de leur positionnement et organisation par rapport à l’aménagement et l’étude de leur mise en place territoriale réalisée grâce à des interviews avec des acteurs locaux. Cette étude a fait ressortir la complexité du droit français en la matière, et les solutions alternatives parfois adoptées localement pour porter les projets territoriaux.

    [[File:fig 1 projet Apogee.png|600px]]


    Figure 1. Liens entre les outils thématiques et la gestion territoriale dans la réglementation française (Extrait de Vigier et al, 2018)



    [[File:fig 2 projet Apogee.png|600px]]

    Figure 2. Interactions des outils par thèmes - représentation pour l'ensemble du territoire (extrait de Vigier et al, 2018)



    Le deuxième résultat a porté sur la réalisation d’un inventaire des mesures structurelles de gestion du risque (solutions fondées sur la nature, grises et hybrides – risques inondation, incendie de forêt et submersion marine) et la proposition d’une méthode pour l’analyse de leur durabilité en définissant des critères et indicateurs techniques, environnementaux et sociaux (la composante économique a été traitée par un relevé du coût des mesures) (Figure 3). Un focus group réunissant des acteurs de terrain (Ville de Vitrolles, Conservatoire du Littoral, DDTM13, ONF) a permis de valider ces critères/indicateurs et d’évaluer à quel niveau et quelle condition cette méthode d’analyse pourrait être intégrée dans la gestion du territoire. Enfin, une approche cartographiée a été produite.


    [[File:fig 3 projet Apogee.png|650px]]

    Figure 3. Résumé graphique de l’analyse de la durabilité des mesures structurelles de gestion du risque




    ==Valorisations==

    Vigier E., Curt C., Curt T., Arnaud A., Dubois J. (2019). Joint analysis of environmental and risk policies: Methodology and application to the French case. Environ Sci Policy, 101, 63-71.

    Curt C., Di Maiolo P., Curt T., Schleyer-Lindenmann A., Tricot A., Merad M., Arnaud A. (2018). Durabilité des mesures de gestion du risque : méthodologie d’analyse. Lambda-Mu 21, 16-18/10/2018, Reims, France.

    Curt C., Di Maiolo P., Curt T., Schleyer-Lindenmann A., Tricot A., Arnaud A. (2019). Evaluation de la soutenabilité des mesures de gestion du risque - Application aux risques inondation, submersion marine et incendie de forêt. Assises Nationales des Risques Naturels, 25-26/03/2019, Montpellier, France.

    Vigier E., Curt C., Curt T., Arnaud A., Dubois J. (2018). Méthodologie d’analyse des politiques environnementales françaises et de leur application sur des territoires multirisques. Lambda-Mu 21, 16-18/10/2018, Reims.


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  • Projet CAAIRN

    Pascal Dimaiolo : Pascal Dimaiolo a déplacé la page Projet CAAIRN vers Wikibardig:Projet CAAIRN


    __TOC__

    Le projet CAAIRN (Démarche de Caractérisation et d’Amélioration de l’Acceptabilité des Infrastructures par les RiveraiNs – Application aux infrastructures de gestion des inondations et des eaux pluviales urbaines) a été financé par la '''Fondation FEREC'''.

    Le projet a été réalisé en collaboration entre '''l’UMR RECOVER (portage du projet), l’UMR ESPACE et l’UMR GESTE'''.

    Le rapport final du projet CAAIRN est disponible à l’adresse : https://fondation-ferec.fr/appel-a-projets-2019/appel-a-projets-2019-projets-laureats/

    ==Contexte et objectifs==

    Selon l'ONU, d'ici 2050 pratiquement sept personnes sur 10 (68 %) vivront en milieu urbain contre à peine plus d'un sur deux (55 %) actuellement (United Nations, 2018) . La pression urbaine grandissante nécessite l’implantation, le développement ou plus simplement l’entretien des infrastructures qui composent le milieu urbain. Or, les projets d’infrastructure ne sont pas toujours bien perçus et acceptés comme par exemple le barrage de Sivens ou l’aéroport de Notre-Dame-des-Landes en France, et des exemples de ce type peuvent être cités dans de nombreux pays. Ces deux projets ont fait l’objet de fortes mobilisations, contestant le projet en soi. Par ailleurs, les nécessaires travaux de maintenance ou de réhabilitation, voire de démantèlement, produisent, dans un contexte citadin, de multiples gênes auxquelles sont soumis les riverains et les usagers de l’espace public. Ainsi ces nuisances incontournables concourent à remettre en cause l’acceptabilité des chantiers voire, in fine, leur non-acceptation, alors même que ces chantiers ont pour objet d’offrir de meilleurs services techniques et une multifonctionnalité de l’espace.
    Un projet d’infrastructure doit donc tenir compte d’une multitude de dimensions, et notamment l’acceptabilité par les riverains, et cela au cours des différentes phases de la vie de cette infrastructure : conception, réalisation/chantier ou vie en service. Améliorer l’acceptabilité représente donc un fort enjeu. L’acceptabilité est le résultat d’un ensemble de facteurs à influence positive vus comme des leviers et d’autres, à influence négative, considérés comme des freins. Des recherches récentes ont montré que la réaction des habitants face à une infrastructure dépend notamment du type d’attachement qu’ils ont à leur lieu de résidence et du sens qu’il a pour eux (Bailey, Devine-Wright & Batel, 2016) . Les questions de soutenabilité ont aussi un rôle certain dans l’acceptabilité. On peut donc faire l’hypothèse que plusieurs dimensions relevant de l’attachement au lieu, des valeurs sociales et du rapport à la nature et à la soutenabilité jouent un rôle dans l’acceptabilité.
    Le projet CAAIRN a permis de développer des démarches de caractérisation et d’amélioration de l’acceptabilité des infrastructures par les riverains. Au cours de ce projet nous nous sommes plus particulièrement penchés sur les infrastructures de gestion des inondations et des eaux pluviales urbaines. Les travaux ont permis plusieurs avancées et proposent des éclairages nouveaux sur la question de l’acceptabilité des infrastructures. Les résultats sont le fruit d’un travail interdisciplinaire mobilisant de concert : l’aide à la décision, la géographie, la psychologie, les sciences de gestion et la sociologie. Certaines des productions n’ont été possibles que grâce à l’accueil et la forte mobilisation de plusieurs collectivités et d’habitants volontaires, insérant ainsi le projet CAAIRN dans une démarche collaborative.

    '''Plusieurs terrains d’études ont été supports des travaux:'''

    *Commune de Vitrolles – des habitants/tes ont été également impliqués/ées;
    *Métropole Aix-Marseille Provence (MAMP) – Territoire Pays d’Aix de la MAMP – Territoire Marseille Provence de la MAMP;
    *Eurométropole de Strasbourg;
    *Métropole du Grand Lyon.

    ==Organisation==

    Quatre grands objectifs ont été définis et traduits sous la forme de quatre actions mobilisant chacune des approches différentes et différents aspects (social, attachement au lieu, environnemental, organisationnel etc.) (Figure 1). Les actions A1, A2 et A3 sont centrées sur la caractérisation de l’acceptabilité : recenser les facteurs d’acceptabilité dans la littérature grise et scientifique ; comprendre les facteurs liés à l’acceptabilité ; évaluer l’acceptabilité/les préférences. L’action A4 apporte en complément la vision des gestionnaires sur leur communication pour améliorer l’acceptabilité.


    [[File:fig 1 projet caairn.png|600px]]


    Figure 1. Organisation des quatre actions du projet CAAIRN


    ==Productions==

    ===Action 1 – Recenser les facteurs d’acceptabilité dans la littérature===

    Dans l’Action 1, des freins et des leviers jouant dans l’acceptabilité d’infrastructures ont été identifiés, au travers de la littérature grise (rapports et projets récents, réglementation, normes) et de la littérature scientifique, à tous les stades de la vie de ces ouvrages. Ces facteurs ont été ordonnés selon différents axes : voir la Figure 2 pour la littérature grise et le Tableau 1 pour la littérature scientifique (68 articles analysés).


    [[File:fig2 projet caairn.png|610px]]

    Figure 2. Représentation des facteurs et attendus au cours d’un projet d’implantation d’une infrastructure en contexte urbain



    [[File:fig3 projet caairn.png|600px]]

    Tableau 1. Synthèse des facteurs associés à l’acceptabilité sociale (freins en rouge, leviers en bleu)


    ===Action 2 – Comprendre les facteurs liés à l’acceptabilité===

    Les travaux menés pour l’Action 2, centrés sur le cas de deux infrastructures situées dans la ville de Vitrolles, ont montré que les modes d’appropriation que les habitants et usagers enquêtés ont de ces deux ouvrages s’accordent de façon cohérente avec la façon dont ils vivent et habitent leur ville. Les deux lieux qui ont, a priori, la même multifonctionnalité (régulation des eaux et espaces verts - Figure 3 et Figure 4) sont vécus de manière assez différente par les habitants, peut-être en lien avec une compréhension distincte de « la nature en ville » qui pourrait relever soit de la « Nature-Parc » ou de la Nature « diffuse » en ville. Un constat a été fait : le risque d’inondation ne semble pour l’instant pas être perçu de manière importante par les habitants.


    [[File:fig4 projet caairn.png|450px]]

    Figure 3. Parc du Griffon © ESPACE



    [[File:fig5 projet caairn.png|450px]]

    Figure 4. Square Marguerite de Provence © ESPACE


    ===Action 3 – Evaluer l’acceptabilité/préférence===

    L’Action 3 a proposé une approche originale, basée sur l’approche d’argumentation abstraite, pour formaliser et analyser les controverses autour de projets d’infrastructure (Figure 5). En se basant sur le cas de la requalification de l’avenue de Marseille située à Vitrolles, l’application de cette approche a permis d’acquérir des connaissances supplémentaires sur les débats liés à un projet d’infrastructure et ainsi de mieux comprendre les enjeux de l’acceptabilité des infrastructures.


    [[File:fig6 projet caairn.png|700px]]

    Figure 5. Graphe AIPA des arguments énoncés en 2010


    ===Action 4 – Analyser les pratiques des EPCI pour favoriser l’acceptabilité===

    L’Action 4 a permis d’identifier les caractéristiques pertinentes de trois territoires pour notre projet. Nous avons aussi mis en évidence que chaque métropole a son identité propre et a mis en œuvre des actions phares (Tableau 2). La communication est abordée selon quatre strates : une communication interne très forte avec la volonté de changer d’abord en interne (éviter le fonctionnement en silos) ; une forte communication des collectivités avec les aménageurs et entre collectivités avec une visée d’abord technique mais également de sensibilisation et d’éducation ; une communication vers le grand public dans des réunions institutionnelles souvent dans un souci de pédagogie, d’incitation et de participation, un rôle plus indirect de la recherche qui selon les disciplines va interroger et ainsi informer les usagers mais diffusera dans un cercle réduit. Les trois collectivités ont affiché une ambition de développer encore la communication autour de ces infrastructures innovantes et leurs enjeux auprès des habitants.

    [[File:fig7 projet caairn.png|500px]]

    Tableau 2. Similitudes et actions singulières dans les 3 territoires étudiés


    ==Références==
    United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division (2019). World Urbanization Prospects: The 2018 Revision (ST/ESA/SER.A/420). New York: United Nations.

    Bailey, Devine-Wright & Batel (2016). Using a narrative approach to understand place attachments and responses to power line proposals: The importance of life-place trajectories. Journal of Environmental Psychology, 48, 200 – 211


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jeudi 14 juillet 2022

  • DAR (HU)

    Bernard Chocat :


    Sigle pour Débit seul d'alerte renforcé ; voir [[Débit de crise / DCR (HU)]].

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Cadre_réglementaire_de_la_gestion_de_l'eau_(HU)]]
    [[Catégorie:Cadre_réglementaire_de_la_gestion_des_risques_(HU)]]
    [[Catégorie:Les_cours_d'eau_et_la_ville_(HU)]]

vendredi 20 mai 2022

  • IIL (HU)

    Bernard Chocat :


    Sigle pour [[Indice ichtyofaune lacustre / IIL (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • Indice ichtyofaune lacustre / IIL (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Lake ichthyofauna index / LII''

    Dernière mise à jour : 20/05/2022

    [[Indice biotique / IB (HU)|Indice biotique]] permettant d’évaluer l'[[Etat écologique (HU)|état écologique]] d’un lac au moyen d’une analyse des peuplements en poissons.

    ==Principes et intérêt==

    Cet indice est en cours de développement (Reyjol ''et al'', 2015).

    Bibliographie :
    * Reyjol, Y., Spyratos, V., Basilico, L. (2012) : Bioindication, des outils pour évaluer l’état des milieux aquatiques ; synthèse des rencontres de l’ONEMA ; 31p. ; disponible sur [https://www.eaufrance.fr/sites/default/files/2018-07/bioindication-outils-d-evaluation-onema-2012.pdf https://www.eaufrance.fr]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • IBML (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Sigle pour Indice Biologique Macrophytique en Lac ; voir Indice biologique macrophytique (HU) Catégorie:Dictionnaire_DEHUA [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologi... »


    Sigle pour Indice Biologique Macrophytique en Lac ; voir [[Indice biologique macrophytique (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • IBMR (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Sigle pour Indice Biologique Macrophytique en Rivières ; voir Indice biologique macrophytique (HU) Catégorie:Dictionnaire_DEHUA [[Catégorie:DCE_et_bon_état_é... »


    Sigle pour Indice Biologique Macrophytique en Rivières ; voir [[Indice biologique macrophytique (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • Indice biologique macrophytique (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Macrophytic biological index''

    Dernière mise à jour : 20/05/2022

    [[Indice biotique / IB (HU)|Indice biotique]] utilisant l'analyse des populations de [[Macrophyte (HU)|macrophytes]] présentes dans le milieu pour évaluer son [[Etat écologique (HU)|état écologique]].

    ==Principes et domaine d'utilisation==

    Le principe consiste à réaliser un inventaire exhaustif de l’ensemble des végétaux aquatiques sur la station en estimant in-situ le taux de recouvrement de chaque taxon identifié, selon les classes de recouvrement définies. On distingue :
    * L'indice biologique macrophytique en rivières (IBMR) ; et,
    * L'indice biologique macrophytique en lac (IBML).

    Ces deux indices ont été rendus DCE-compatibles et peuvent être utilisés depuis 2016 dans le cadre de la [[Directive cadre sur l’eau / DCE (HU)|DCE]].

    Pour en savoir plus :
    * [https://www.labocea.fr/indice-biologique-macrophyte-en-riviere-ibmr/ https://www.labocea.fr]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • Indice Biologique Diatomées / IBD (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « ''Traduction anglaise : Diatomites Biologicatl index / DBI'' Dernière mise à jour : 20/05/2022 Indice biotique normalisé, ... »


    ''Traduction anglaise : Diatomites Biologicatl index / DBI''

    Dernière mise à jour : 20/05/2022

    [[Indice biotique / IB (HU)|Indice biotique]] normalisé, utilisable dans le cadre de la [[Directive cadre sur l’eau / DCE (HU)|DCE]] pour évaluer de l'[[Etat écologique (HU)|état écologique]] des eaux de surface en analysant les populations de [[Diatomées (HU)|diatomées]] présentes.

    Voir : [[Indice diatomique (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • IBD (HU)

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    Sigle pour Indice Biologique Diatomées ; voir [[Indice diatomique (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • Indice de polluo-sensibilité / IPS (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « ''Traduction anglaise : (Specific) pollution sensitivity index'' Dernière mise à jour : 20/05/2022 Indice biotique utilisan... »


    ''Traduction anglaise : (Specific) pollution sensitivity index''

    Dernière mise à jour : 20/05/2022

    [[Indice biotique / IB (HU)|Indice biotique]] utilisant des [[Diatomées (HU)|diatomées]] [[Saprobie (HU)|saprobies]] plus ou moins sensibles à la pollution de l'eau. Le signe IPS signifie Indice de polluo-sensibilité spécifique ; il a créé en 1982 par le Cemagref ; voir [[Indice diatomique (HU)|indice diatomique]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • IPS (HU)

    Bernard Chocat :


    Sigle pour [[Indice de polluo-sensibilité / IPS (HU)|Indice de Polluo-Sensibilité Spécifique]].

    Voir [[Indice diatomique (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • Indice diatomique (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Diatomites index''

    Dernière mise à jour : 20/05/2022

    [[Indice biotique / IB (HU)|Indice biotique]] fondé sur les populations de [[Diatomées (HU)|diatomées]] ; on parle également d'indice diatomées et parfois d'indice [[Saprobie (HU)|saprobie]].

    ==Intérêt et différents indices==

    Les diatomées sont des algues unicellulaires [[Saprobie (HU)|saprobies]] omniprésentes en eau douce. L'analyse des populations présentes dans une masse d'eau permet donc de connaître sa qualité.

    Une dizaine d'indices diatomiques ont été proposés et sont utilisés dans le monde. En France, l'un des premiers a été l'indice de polluo-sensibilité (IPS), calculés sur 10 000 [[Taxon (HU)|taxons]] environ, ce qui rendait son utilisation difficile. Cette dificulté a conduit à la construction de l’indice diatomique générique (IDG), puis de l’indice biologique diatomées (IBD) qui se calcule seulement à partir de 209 taxons. Ce dernier indice a de nouveau été amélioré à partir de 2004 (Coste ''et al.'' 2009) ce qui a permis de le normaliser en 2007 sous le nom IBD2007, norme mise à jour en 2016 (IBD - AFNOR NF T 90-354, avril 2016). Il utilise actuellement environ 800 taxons. Cet indice peut être utilisé pour évaluer l'état écologique des cours d'eau dans le cadre de la DCE (DCE-compatible pour le 3ème cycle 2022-2027). Il est particulièrement sensible au niveau d'[[Eutrophisation (HU)|eutrophisation]] du milieu.

    ==Protocole expérimental==

    Le protocole expérimental est le suivant ([https://www.driee.ile-de-france.developpement-durable.gouv.fr/quelques-explications-sur-l-ibd-a2089.html https://www.driee.ile-de-france.developpement-durable.gouv.fr]):
    * choix de la station ;
    * prélèvement consistant à récupérer des diatomées principalement fixées sur les pierres (mais parfois sur d’autres supports) de la rivière par grattage ;
    * traitement et rinçage de l’échantillon qui vise à l’élimination de la matière organique et des carbonates pour ne conserver que le squelette externe siliceux ;
    * préparation de la lame ;
    * comptage et la détermination d’au moins 400 diatomées, sous microscope ;
    * expression des résultats sous forme d’une liste floristique avec l’abondance relative ;
    * calcul de l’IBD.

    Le détail de ce protocole est disponible sur [https://hydrobio-dce.inrae.fr/telecharger/diatomees-2/ https://hydrobio-dce.inrae.fr] pour la métropole et sur [https://professionnels.ofb.fr/sites/default/files/pdf/GP2018-IDR_complet.pdf https://professionnels.ofb.fr] pour l'outre-mer.

    Bibliographie :
    * Coste, M., Boutry, S., Tison-Rosebery, J., Delmas, F. (2009) : ''Improvements of the Biological Diatom Index (BDI) : Description and efficiency of the new version (BDI-2006)'' ; Ecol. Indic.n° 9 ; pp.621-650 ; disponible sur [https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S1470160X08000757 https://www.sciencedirect.com]

    Pour en savoir plus :
    * Rumeau, A, Coste, M. (1988) : Initiation à la systématique des diatomées d'eau douce ; Bull. Fr. Pêche Piscic. ; N°309; pp1-69 ; téléchargeable sur : https://www.kmae-journal.org/articles/kmae/pdf/1988/02/kmae198830901.pdf
    * [http://acces.ens-lyon.fr/acces/thematiques/biodiversite/dossiers-thematiques/biosurveillance-et-bioindicateurs/les-diatomees-bio-indicatrices-de-la-qualite-des-cours-d2019eau Les diatomées bio-indicatrices de la qualite des cours d'eau]
    * [https://hydrobio-dce.inrae.fr/telecharger/diatomees-2/ https://hydrobio-dce.inrae.fr]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • Indice phytoplancton (HU)

    Bernard Chocat : /* Indice actuel */


    ''Traduction anglaise : Phytoplankton index''

    Dernière mise à jour : 20/05/2022

    [[Indice biotique / IB (HU)|Indice biotique]] fondé sur l'analyse du [[Phytoplancton (HU)|phytoplancton]] ; on parle également d'indice phytoplanctonique.

    ==Indice actuel==

    l'indice actuellement utilisable pour mesurer l'[[Etat écologique (HU)|état écologique]] des lacs dans le cadre de la [[Directive cadre sur l’eau / DCE (HU)|DCE]] est l'Indice Phytoplanctonique lacustre (IPLAC).

    Pour en savoir plus :
    * Laplace-Treyture, C, J., Dutartre, A., Druart, J.C., Rimet, F., Anneville, O. (2009) : Protocole standardisé d’échantillonnage, de conservation, d’observation et de dénombrement du phytoplancton en plan d’eau pour la mise en œuvre de la DCE ; Version 3.3.1 ; 44p. ; disponible sur [https://hydrobio-dce.inrae.fr/wp-content/uploads/2014/03/PHYTOPLANCTON_-PROTOCOLE_STANDARDISE.pdf https://hydrobio-dce.inrae.fr]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • IPLAC (HU)

    Bernard Chocat :


    Sigle pour Indice Phytoplancton LACustre ; voir [[Phytoplancton (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • ITP (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Sigle pour Indice phytoplanctonique ; voir Phytoplancton (HU) Catégorie:Dictionnaire_DEHUA Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU) [[Catégorie:Evaluati... »


    Sigle pour Indice phytoplanctonique ; voir [[Phytoplancton (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

  • Saprobie (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : saproby''

    Dernière mise à jour : 20/05/2022

    Organisme aquatique d'eau douce se nourrissant de matière organique morte ou en décomposition (généralement en l'absence d'oxygène).

    ==Intérêt en écologie==

    L'étude de la concentration des saprobies permet de déterminer la qualité de l'eau d'un cours d'eau continental :
    * un milieu pauvre en matière organique morte et riche en oxygène contiendra peu de saprobies et sera dit oligosaprobe,
    * à l'inverse un milieu pauvre en oxygène et riche en matière organique morte en contiendra beaucoup (milieu polysaprobe) (voir figure 1).


    [[File:saprobie-diatomees.jpg|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Classification des diatomées selon la saprobie Source : [https://www.aquaportail.com/definition-2031-saprobie.html https://www.aquaportail.com]''
    ]]

    Cet élément est utilisé en particulier dans les [[Indice biotique / IB (HU)|indices biotiques]] utilisant les [[Diatomées (HU)|diatomées]].

    Pour en savoir plus :
    * [https://www.aquaportail.com/definition-2031-saprobie.html https://www.aquaportail.com]'

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:DCE_et_bon_état_écologique_(HU)]]
    [[Catégorie:Evaluation_de_la_qualité_(HU)]]

mercredi 18 mai 2022

  • URBIS (HU)

    Bernard Chocat :


    Dernière mise à jour : 18/05/2022

    Logiciel de simulation du fonctionnement d'un espace aménagé pour la gestion des eaux pluviales (laboratoire DEEP, Insa de Lyon).

    Pour en savoir plus :
    * [https://deep.insa-lyon.fr/fr/content/urbis https://deep.insa-lyon.fr]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Solutions_alternatives_et_compensatoires_(HU)]]
    [[Catégorie:Logiciels_et_outils_(HU)]]

mardi 17 mai 2022

  • Volumes finis (méthode des) (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « ''Traduction anglaise : Finite volumes method'' Dernière mise à jour : 17/05/2022 Méthode numérique de résolution des équations différentielles ou d... »


    ''Traduction anglaise : Finite volumes method''

    Dernière mise à jour : 17/05/2022

    Méthode numérique de résolution des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles.

    ==Principes de la méthode==

    Comme la méthode des [[Eléments finis (méthode des) (HU)|éléments finis]], la méthode des volumes finis exploite des approximations d'intégrales. L'équation est résolue directement de manière approchée sur un maillage constitué d'objets finis disjoints (des segments en 1D, des surfaces en 2D et des volumes en 3D) qui recouvrent le domaine d'étude. Du fait de sa formulation elle est strictement conservative sur chacun des éléments.

    ==Applications en hydrologie et en hydraulique==

    Du fait de son caractère conservatif, la méthode des volumes finis est très bien adaptée aux équations de la mécanique des fluides. Elle constitue la méthode la plus utilisée par les logiciels de [[Mécanique des fluides numérique / MFN (HU)|Mécanique des fluides numérique]] (MFN).

    Pour en savoir plus
    * [https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_volumes_finis Article Wikipédia]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Outils_mathématiques_(HU)]]

lundi 16 mai 2022

  • Battance (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : soil crusting, soil slaking''

    Dernière mise à jour : 16/05/2022

    [[Structure du sol (HU)|Déstructuration]] de la couche superficielle d'un sol sous l'effet de chocs répétés dus par exemple à un piétinement ou simplement aux chocs des gouttes de pluie ; la battance se traduit par la formation d'une croute en surface qui peut réduire considérablement les possibilités d'[[Infiltration (HU)|infiltration]].

    Nota : Il n'existe pas vraiment de terme équivalent en anglais : ''soil crusting'' fait référence à la formation d'une croute, qu'elle qu'en soit la cause (ce peut être par exemple un épisode de sécheresse) et ''soil slaking'' fait référence à la déstructuration du sol, mais sans non plus en préciser la cause.

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Généralités_eau_souterraine_et_sol_(HU)]]
    [[Catégorie:Modélisation_de_l'infiltration_(HU)]]

jeudi 12 mai 2022

  • Structure du sol (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « ''Traduction anglaise : soil structure'' Dernière mise à jour : 11/05/2022 Façon dont les agrégats constituant le sol (sables, limons et argiles) sont ... »


    ''Traduction anglaise : soil structure''

    Dernière mise à jour : 11/05/2022

    Façon dont les agrégats constituant le sol (sables, limons et argiles) sont agencés.

    ==Lien entre texture et structure==

    La structuration naturelle d'un sol dépend tout d'abord de sa [[Texture du sol (HU)|texture]], c'est à dire des parts relatives de sables, limons et argiles qui le constituent. Elle dépend également de l'activité biologique.
    Dans un sol bien structuré, les particules les plus grossières (sables et limons) sont liées en agrégats par l'argile, l'humus et le calcium (figure 1). Les grands espaces vides entre les agrégats (macropores) permettent à l'eau et à l'air de circuler et aux racines de s'enfoncer dans le sol. Les petits espaces vides (micropores) retiennent quant à eux l'eau dont les plantes ont besoin. Cette structure « idéale » est appelée structure grumeleuse (https://espacepourlavie.ca/structure-du-sol).


    [[File:structure_sol1.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Exemple de sol bien structuré ; Source : [https://espacepourlavie.ca/structure-du-sol https://espacepourlavie.ca]''
    ]]

    Un excès d'eau peut déstructurer le sol en cassant les agrégats et en entrainant les particules les plus fines. Un tel phénomène peut conduire à un relargage des polluants fixés dans le sol et/ou à une érosion rapide (création de renard par exemple).

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Généralités_eau_souterraine_et_sol_(HU)]]
    [[Catégorie:Eau_dans_les_sols_(HU)]]

  • Texture du sol (HU)

    Bernard Chocat : /* Importance de la texture des sols en hydrologie */


    ''Traduction anglaise : soil texture''

    Dernière mise à jour : 11/05/2022

    Répartition des minéraux et de la matière organique par classe de taille indépendamment de la nature et de la composition des matériaux constitutifs.

    ==Classification des textures de sol==

    La texture du sol est évaluée en fonction de trois éléments :
    * les sables : 50 µm < diamètre moyen < 5 000 µm ;
    * les limons : 2 µm ≤ diamètre moyen ≤ 50 µm ;
    * les argiles : diamètre moyen < 2 µm.

    Nota : Les éléments les plus grossiers (diamètre moyen > 5 000 µm) ne sont pas pris en compte.

    On peut alors construire un triangle des textures en fonction des teneurs relatives de chacun de ces éléments.


    [[File:texture_sol2.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Exemple de triangle des textures ; Source : [https://formationcivamgard.fr/?TexTure https://formationcivamgard.fr]''
    ]]

    Nota : Il existe différentes typologie (donc différents triangles des textures) selon les auteurs et les seuils séparant les sables des limons et les limons des argiles peuvent également varier.

    ==Importance de la texture des sols en hydrologie==

    Même si la notion de texture est surtout importante en agronomie, elle joue également un rôle en hydrologie en conditionnant les transferts d'eau dans les sols et donc par exemple les paramètres d'infiltration, mais également la capacité des sols à retenir les polluants.

    Ce paramètre est également utilisé pour d'autres milieux : on parle par exemple de la texture des [[Boue (HU)|boues]].

    Nota : La texture n'est pas le seul paramètre à prendre en compte. En effet le comportement du sol vis-à-vis des transferts d'eau et de polluants dépend également de sa [[Structure du sol (HU)|structure]], c'est à dire de la façon dont les éléments qui le constituent sont agencés.

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Généralités_eau_souterraine_et_sol_(HU)]]
    [[Catégorie:Eau_dans_les_sols_(HU)]]

lundi 2 mai 2022

  • PCSWMM (HU)

    Bernard Chocat :


    Dernière mise à jour : 02/05/2022

    Logiciel de simulation des réseaux d'assainissement, en français, s'appuyant sur le moteur hydraulique de [[SWMM (HU)|SWMM]].

    Pour en savoir plus :
    * http://www.hydropraxis.com/presentation-de-pcswmm-france/

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Logiciels_et_outils_(HU)]]

  • SWMM (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Dernière mise à jour : 02/05/2022 Logiciel de simulation des réseaux d'assainissement développé par l’Environmental Protection Agency (EPA). Il est disponib... »


    Dernière mise à jour : 02/05/2022

    Logiciel de simulation des réseaux d'assainissement développé par l’Environmental Protection Agency (EPA). Il est disponible en libre accès (voir "pour en savoir plus").

    Nota : SWMM est l'acronyme de ''Storm Water Management Model''

    Pour en savoir plus :
    * [https://www.epa.gov/water-research/storm-water-management-model-swmm www.epa.gov]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Logiciels_et_outils_(HU)]]

vendredi 29 avril 2022

  • Top Model (HU)

    Bernard Chocat :


    Dernière mise à jour : 29/04/2022

    Modèle hydrologique fondé sur l'hypothèse d'une augmentation dans le temps de la surface contributive due à la saturation progressive des sols (Beven et Kirby, 1979).

    ==Principes du modèle==

    Le principe de base du modèle consiste à supposer que lorsque le sol arrive à saturation, l'eau peut s'écouler dans le sol, parallèlement à la pente, sous la forme d'un [[Ecoulement hypodermique (HU)|écoulement de subsurface]]. L'écoulement est donc principalement commandé par la topographie (d'où le nom : TOPographie based MODEL). Ce modèle nécessite donc sur une connaissance fine de la topographie obtenue par l'utilisation d'un [[Modèle numérique de terrain / MNT (HU)|modèle numérique de terrain]] permettant de mailler finement le bassin versant (figure 1).

    L'écoulement lui-même est supposé s'effectuer dans les couches superficielles du sol et le modèle le représente en utilisant la [[Darcy (loi de) (HU)|loi de Darcy]] pour les milieux saturés.


    [[File:top model.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Exemple de représentation d'un bassin versant pour utiliser top model ; Source : Metcalfe ''et al.''(2015)''
    ]]

    ==Formulation mathématique==

    Le Top model repose sur deux équations :
    * l'équation de Darcy :


    Qs(t) = T(t).grad(h).Δx \qquad (1)



    * et une équation traduisant l'évolution de la transmissivité hydraulique en fonction de la saturation du sol :


    T(t) = T_0.e^{-\dfrac{d(t)}{m}}\qquad (2)



    Ces deux équations sont associées à l'[[Equation de conservation (HU)|équation de conservation]] sur chacune des mailles.

    avec :
    * Qs(t) : débit sortant de la maille par la frontière de largeur Δx à l'instant t (m3/s) ;
    * T(t) : [[Transmissivité (HU)|transmissivité hydraulique]] à l'instant t (m2/s) ;
    * T_0 : transmissivité hydraulique à saturation, égale au produit de la profondeur du sol par la [[Conductivité hydraulique (HU)|conductivité hydraulique]] à saturation (m2/s) ;
    * grad(h) : [[Gradient hydraulique (HU)|gradient hydraulique]], généralement assimilé à la pente de la surface perpendiculairement à la frontière Δx (m/m) ;
    * Δx : largeur de la frontière entre les deux mailles (m) ;
    * d(t) : déficit local égal à la quantité d'eau qu'il faudrait infiltrer pour faire affleurer la zone saturée (m) ;
    * m : paramètre de [[Calage d'un modèle (HU)|calage]] traduisant la variation de la transmissivité en fonction de la saturation du sol (m).

    Bibliographie :
    * Beven, K.J., Kirby, M.J. (1979) : ''A physically based, variable contributing area model of basin hydrology'' ; Hydrological Sciences Bulletin ; Vol 24-1 ; pp 43-69.
    * Metcalfe, P., Beven, K.J., Freer, J. (2015) : ''Dynamic TOPMODEL: A new implementation in R and its sensitivity to time and space steps'' ; 41p. ; disponible sur [https://www.semanticscholar.org/paper/Dynamic-TOPMODEL%3A-A-new-implementation-in-R-and-its-Metcalfe-Beven/6d52231d726241f46d5979aaf48cdc42330c1da6 semanticscholar.org]

    Pour en savoir plus :
    * Obled, C., Zin, I. (2004) : TOPMODEL : principes de fonctionnement et application ; La houille blanche ; N°1 ; pp 65-77.

  • Succion (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Suction''

    Dernière mise à jour : 11/05/2022

    Le phénomène de succion est du à une différence de pression entre deux points ; il joue en particulier un rôle important dans le mouvement de l'eau dans les sols non saturés ; on parle également de tension.

    ==Pression, tension et succion dans un sol==

    L'ensemble de la phase liquide du sol étant soumis à la pression atmosphérique, on raisonne le plus souvent en pression relative qui est la différence entre la pression en un point et la pression atmosphérique. De plus, comme la phase liquide est considérée comme homogène et incompressible, sa masse volumique est constante, et on exprime le plus souvent la pression en hauteur de colonne d'eau (h).

    Dans un sol non saturé, du fait des forces de [[Tension superficielle (HU)|tension superficielle]] due à la [[Capillarité (HU)|capillarité]], la pression relative est toujours négative. De ce fait on utilise souvent la notion de succion (ou de tension) (Ψ) qui est égale à la valeur absolue de la pression relative :


    Ψ = |h|


    La valeur de la succion se mesure avec un tensiomètre (figure 1). Elle est nulle pour un sol saturé et elle est d'autant plus faible que le sol est sec. Elle peut atteindre des valeurs considérables de l'ordre de plusieurs dizaines de mètres. On comprend donc que ce paramètre joue un rôle clé dans les phénomènes d'[[Infiltration (HU)|infiltration]] et d'[[Evapotranspiration (HU)|évapotranspiration]].


    [[File:tensiomètre.JPG|800px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Principe de fonctionnement d'un tensiomètre : La différence de pression entre la surface et un point particulier du sol se traduit par une remontée de l'eau dans la colonne ; Du fait des différences importantes de pression qui peuvent exister, les appareils du marché n'utilisent pas directement la différence de hauteur dans les deux colonnes d'eau ; Source : [https://www.u-picardie.fr/beauchamp/mst/eau-sol.htm%20https://www.u-picardie.fr Université de Picardie]''
    ]]

    Pour en savoir plus :
    * Université de Laval : Notions de base en physique des sols ; disponible sur http://www.grr.ulaval.ca/gaa_7003/Documents/Notes_cours_2012/CH_1_Phy_sols.pdf
    * Université de Picardie: L'eau et le sol ; disponible sur : [https://www.u-picardie.fr/beauchamp/mst/eau-sol.htm https://www.u-picardie.fr]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Eau_dans_les_sols_(HU)]]
    [[Catégorie:Modélisation_de_l'infiltration_(HU)]]

  • Green et Ampt (modèle de) (HU)

    Bernard Chocat : /* Intérêt et limite du modèle */


    '' Traduction anglaise : Green et Ampt model''

    Dernière mise à jour : 29/04/2022

    Modèle de représentation de l'infiltration dans les sols (Green et Ampt, 1911).

    ==Principes du modèle==

    Le principe de base du modèle est la progression d'un front de saturation homogène dans le sol (figure 1).


    [[File:green et ampt 1.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Principes du modèle de Green et Ampt.''
    ]]

    L'eau qui s'infiltre progresse vers le bas sous le double effet des forces de pesanteur et des forces de [[Succion (HU)|succion]] ; le front de saturation est supposée horizontal. L'équation de conservation impose à chaque instant d'équilibrer l'augmentation du volume d'eau stocké dans la zone saturée (en fonction de l'extension de cette zone) et le débit infiltré. Le sol est supposé homogène ([[Porosité (HU)|porosité]] et [[Conductivité hydraulique (HU)|conductivité hydraulique]] constantes). Le modèle nécessite également que le phénomène s'arrête avant que l'eau d'infiltration n'ait atteint une zone non saturée plus profonde.

    ==Formulation mathématique==

    Le modèle de Green et Ampt s'écrit de la façon suivante par unité de surface infiltrante :

    f(t) = K.\left[\frac{Ψ.(θ_s-θ_i)}{F(t)}+1\right] \qquad(1)


    Avec :
    * f(t) : taux d'infiltration à l'instant t (m/s) ;
    * K : conductivité hydraulique du sol (supposée constante) (m/s) ;
    * Ψ : succion (supposée constante) (m) ;
    * θ_s : teneur en eau du sol saturé (m/m) ;
    * θ_i : teneur initiale en eau (m/m) ;
    * F(t) : hauteur d'eau infiltrée depuis le début de l'événement (m).

    F(t) = \int_0^t f(τ).dτ \qquad(2)


    ==Intérêt et limite du modèle==

    Ce modèle de type [[Horton (modèle de) (HU)|hortonien]] correspond à une saturation progressive du sol. Il est simple et fournit des résultats corrects pour des sols relativement grossiers (sableux ou argilo-sableux). Il peut être utilisé pour représenter les pertes continues mais également pour représenter l'infiltration dans les ouvrages d'infiltration.

    L'hypothèse la plus problématique est celle d'une teneur en eau constante dans la colonne de sol au début de l'événement (et dont il faut d'ailleurs connaître la valeur) associée à celle d'un front de saturation homogène. La partie superficielle des sols est en effet un milieu assez hétérogène et le profil temporel de l'infiltration est souvent chaotique.

    Ce modèle est en particulier utilisé dans la chaine [[MARINE (HU)|MARINE]].

    Bibliographie
    * Green, W.H., Ampt, G. (1911) : ''Studies of soil physics, part I – the flow of air and water through soils'' ; J. Ag. Sci. 4 ; p.1-24

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Modélisation_de_la_transformation_pluie-débit_(HU)]]
    [[Catégorie:Modélisation_de_l'infiltration_(HU)]]

  • Infoworks (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Dernière mise à jour : 29/04/2022 InfoWorks ICM est un outil de modélisation hydraulique complet incluant des méthodes hydrologiques permettant de représenter... »


    Dernière mise à jour : 29/04/2022

    InfoWorks ICM est un outil de modélisation hydraulique complet incluant des méthodes hydrologiques permettant de représenter numériquement le transport de la goutte de pluie tombant sur le bassin-versant à l’exutoire du cours d’eau. ; il permet de représenter les écoulement 1D dans les réseaux d’eaux usées et d’eaux pluviales, mais également ceux en 1D ou en 2D dans les cours d’eau.

    Pour en savoir plus :
    * [https://www.geomod.fr/fr/gestion-de-l-eau/eaux-usees-fluvial-inondation/infoworks-icm/ www.geomod.fr]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Logiciels_et_outils_(HU)]]

  • Hydrobox (HU)

    Bernard Chocat : /* Utilisation pour représenter des ouvrages */


    Dernière mise à jour : 02/05/2022

    ''mot en chantier''

    Plate forme générique de développement de modèles hydrologiques mise au point au laboratoire DEEP de l'INSA de Lyon.

    ==Principes==

    Hydrobox est constituée de deux parties :
    * un éditeur de modèles qui permet la création simplifiée de [[Modèle à réservoir (HU)|modèles hydrologiques à réservoir]] à partir de boites et de flux types paramétrables ;
    * un solveur qui résout à chaque pas de temps l'ensemble des équations par un schéma explicite de différences finies.

    Hydrobox est également doté de fonctions graphiques qui facilitent la création des modèles (éditeur graphique) et la visualisation des résultats.

    ===Boites et flux===

    Les boites représentent les différents composants d'un système hydrologique. Elles sont uniquement régies par [[Equation de conservation (HU)|l’équation de conservation]] de la masse (la variation du stock dans un réservoir entre le début et la fin d'un pas de temps est égale à la différence entre les stocks entrant et sortant du réservoir pendant ce pas de temps). Elles sont caractérisées à chaque pas de temps par un volume ou une hauteur d’eau.

    Les flux sont de deux types :
    * des flux matériels représentant les débits échangés entre deux boites, qui se divisent eux-mêmes en deux sous-types :
    :* les flux de type amont ou aval qui représentent les échanges entre le système étudié et son environnement (e.g. exutoire atmosphère) ces flux représentent donc des conditions aux limites amont ou aval et sont portés par une seule boite ;
    :* Les flux inter-boites (type amont/aval) qui correspondent aux échanges entre deux boites ; la fonction mathématique décrivant cet échange est quelconque mais doit impérativement être uniquement dépendante de l'information connue dans les boites amont et/ou aval et/ou du temps ; Hydrobox propose une grande diversité de flux types paramétrables capables de représenter la plupart des processus hydrologiques ;
    * des "flux d'information" qui permettent à une boite quelconque de connaître l'état (hauteur ou volume) d'une autre boite ; ces flux permet par exemple de représenter des dispositifs de gestion en temps réel dans lesquels le flux échangé entre deux réservoirs directement connectés dépend de l'état d'un troisième réservoir potentiellement lointain.

    ===Méthode de résolution===

    Hydrobox représente l'évolution temporelle du système hydrologique par un schéma itératif explicite conformément à la figure 1 : A chaque pas de temps on commence par calculer tous les flux en fonction de l'état des boites au pas de temps précédent, puis connaissant les valeurs des flux on calcule le nouvel état des boites au même pas de temps.


    [[File:hydrobox 1.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Organigramme général du solveur d'Hydrobox.''
    ]]

    La stabilité du schéma numérique est obtenue en choisissant un pas de temps de calcul court par rapport à la dynamique des phénomènes représentés. Ce pas de temps est variable (entre 1 minute et 1 heure) et s'ajuste automatiquement en fonction de la vitesse d'évolution de l'état dans les boites.

    ===Editeur et notion de squelette de modèle===

    Hydrobox est doté d'un éditeur graphique qui permet de construire simplement les boites et les flux qui les relient (figure 2). Cet éditeur est en particulier disponible dans le logiciel [[Canoe (HU)|Canoe]].


    [[File:hydrobox 2.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 2 : Exemple de modèle hydrobox construit à partir de l'éditeur graphique : la couleur des boites indique leur nature (vert : boite standard ; violet : CL amont ; jaune : CL aval ; rouge : pertes ; les numéros correspondent aux différents flux utilisés.''
    ]]

    Hydrobox utilise également la notion de squelette pour représenter des systèmes hydrologiques génériques : le schéma d'un squelette est fixe mais les valeurs numériques des variables affectés aux boites et aux flux sont paramétrables. Par ailleurs les flux non utiles peuvent être désactivés pour gagner du temps calcul. La figure 3 représente à titre indicatif un squelette hydrobox représentant un bassin versant péri-urbain ; une version simplifiée de ce squelette est utilisée dans le logiciel [[Canoe (HU)|Canoe]].


    [[File:hydrobox 3.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 3 : Squelette d'un modèle hydrobox d'un bassin versant péri-urbain ; la signification des différentes abréviations est la suivante : SIRRA : Surface imperméable directement raccordée au réseau d'assainissement ; SIRR : Surface imperméable directement raccordée à la rivière ; SIRTAS : Surface imperméable raccordée à une technique alternative stockante ; SIRTAI : Surface imperméable raccordée à une technique alternative infiltrante ; SIRSP : Surface imperméable raccordée à une surface perméable ; SP : Surface perméable ; SS : sous-sol ; N : Nappe ; RA : réseau d'assainissement ; R : rivière ; DO : déversoir d'orage ; A : atmosphère ; ERA : exutoire réseau assainissement ; ER : exutoire rivière.''
    ]]

    ==Intérêt et domaine d'utilisation==

    Hydrobox peut être utilisé pour représenter un grand nombre de systèmes hydrologiques, notamment des bassins versants, mais pas uniquement.

    ===Utilisation pour représenter des bassins versants===

    Comme indiqué précédemment hydrobox est utilisé de façon générique dans Canoe pour représenter les bassins versants. Il peut également faire l'objet d'utilisation plus spécifique. Dorval (2011) l'a par exemple utilisé pour étudier le rôle des différentes composantes (eau usée, eau de ruissellement et eau d'infiltration) dans les crues sur un réseau unitaire. On profite dans ce cas de la possibilité de simuler dans le temps des phénomènes ayant des dynamiques temporelles très différentes et de pouvoir éditer les flux échangés entre tous les compartiments du système étudié (figure 4).


    [[File:hydrobox 4.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 4 : Décomposition d'un hydrogramme de crue en différentes composantes dans un réseau unitaire ; Source : Dorval (2011).''
    ]]

    ===Utilisation pour représenter des ouvrages ===

    Hydrobox permet également de représenter des dispositifs hydrauliques ayant un fonctionnement complexe comme par exemple une chaine constituée de plusieurs ouvrages alternatives de gestion des eaux pluviales : par exemple toiture végétalisée associée à des ouvrages infiltrants, ou dans un registre différent, filtre planté de roseaux utilisé pour le traitement des rejets d'un déversoir d'orage (projet segteup) pu système de biorétention (figure 5).


    [[File:hydrobox 5.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 5 : Schéma de principe du modèle hydrobox d'un ouvrage de biorétention ; Source : Bonneau ''et al'' (2021).''
    ]]

    Bibliographie :
    * Bonneau, J., Lipeme Kouyi, G., Lassabatere, L., Fletcher, T. (2021) : ''Field validation of a physically-based model for bioretention systems'' ; Journal of Cleaner Production 312; pp
    * Dorval, F. (2011) : Mise au point de techniques de traitement de données en continu pour l’identification des composantes de débit à l’exutoire des bassins versants urbains : Etude de cas des bassins versants Django Reinhardt et Ecully ; thèse de doctorat, INSA Lyon ; disponible sur : https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00679819/document

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Logiciels_et_outils_(HU)]]

  • GR (HU)

    Bernard Chocat : /* Différents modèles hydrologiques du Génie Rural */


    Dernière mise à jour : 29/04/2022

    Dans le domaine de l'hydrologie, ces deux lettres identifient les modèles hydrologiques développés par le Génie Rural.

    ==Différents modèles hydrologiques du Génie Rural==

    Dès le début des années 1980, le Cemagref (devenu ensuite IRSTEA, puis intégré au sein de l'INRAE) a commencé à développer une gamme de modèles hydrologiques destinés à représenter le lien entre la lame d'eau précipitée sur un bassin versant et son débit à l'exutoire. Ces modèles sont tous des [[Modèle à réservoir (HU)|modèles à réservoir]] de type empirique.

    Leur appellation dépend du pas de temps de simulation :
    * annuel : GRkA, par exemple GR1A ;
    * mensuel : mensuel GRkM, par exemple GR2M ;
    * journalier : GRkJ, par exemple GR4J ;
    * horaire : GRkH, par exemple GR3H (devenu [[GRD (HU)|GRD]]).

    L'indice k indique le nombre de paramètres : le modèle GR4J est ainsi un modèle à quatre paramètres fonctionnant au pas de temps journalier. Ces modèles peuvent être couplés. Par exemple la plate forme [[AIGA (HU)|AIGA]] utilise le modèle GR4J pour la simulation en continue de l'état de remplissage des réservoirs et le modèle GRD (pas de temps horaire) pour la simulation des périodes de crue qui nécessite la connaissance de l'état initial de remplissage des réservoirs.

    Pour en savoir plus :
    * Perrin, C., Michel, C., Andréassian, V. (2007) : Modèles hydrologiques du Génie Rural (GR) ; 16pp. ; disponible sur https://webgr.irstea.fr/wp-content/uploads/2012/08/Modeles_GR_Resume.pdf

jeudi 28 avril 2022

  • MFN (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Sigle pour Mécanique des Fluides Numérique Catégorie:Dictionnaire_DEHUA [[Catégorie:Généralité_modélisation_(... »


    Sigle pour [[Mécanique des fluides numérique / MFN (HU)|Mécanique des Fluides Numérique]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Généralité_modélisation_(HU)]]
    [[Catégorie:Logiciels_et_outils_(HU)]]

  • Mécanique des fluides numérique / MFN (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Computational Fluid Dynamics / CFD''

    Dernière mise à jour : 19/05/2022

    ''mot en chantier''

    Ensemble de méthodes numériques permettant de représenter différents phénomènes physiques d'écoulement de fluides, décrits par des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles (EDP) fortement non-linéaires et parfois couplées à d’autres équations (Magnétohydrodynamiques, Turbulence, Milieux poreux, etc.) ; dans le domaine de l'hydraulique, la MFN concerne en particulier la résolution des [[Navier-Stokes (équation de) (HU)|équations de Navier-Stokes]] pour une géométrie donnée.

    ==Principes==

    Le principe de base consiste à transformer un phénomène représenté par des équations différentielles ou des EDP sur un domaine physique continu par un système d'équations algébriques prenant des valeurs sur un domaine discret, puis à résoudre ces équations algébriques en utilisant un solveur plus ou moins générique mis en œuvre par un logiciel adéquat. Pour ceci différentes étapes sont nécessaires :
    * choix d'une formulation et, par association, d'une méthode de mise en équations ; trois méthodes, que l'on peut coupler, sont utilisables :
    :* approximation des dérivées des variables par des opérateurs algébriques et [[Différences finies (méthode des) (HU)|méthode des différences finies]] ;
    :* approximation des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques en utilisant la formulation variationnelle et [[Eléments finis (méthode des) (HU)|méthode des éléments finis]] (formulation faible) ;
    :* approximation directe des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques et [[Volumes finis (méthode des) (HU)|méthode des volumes finis]] (formulation forte).
    * délimitation du domaine d'étude et maillage de ce domaine ;
    * construction des équations algébriques correspondant aux EDP sur le domaine discret ;
    * choix des conditions aux limites et construction des équations algébriques correspondantes sur les différents "bords" du domaine d'étude de façon à ce que le nombre d'équations soit égal au nombre d'inconnues ;
    * utilisation d'un solveur pour résoudre le système d'équations algébriques sur le maillage choisi.

    ===Choix de la méthode===

    La plupart des logiciels utilisent la méthode des volumes finis pour discrétiser les opérateurs dans l'espace. Cette méthode consiste en effet à écrire, sur chaque volume élémentaire, que la variation interne de la grandeur considérée (masse, énergie, quantité de mouvement) est égale à la somme des flux qui traversent sa frontière ; elle est donc conservative par construction. Si nécessaire (dans le cas des phénomènes évolutifs), la méthode des différences finies peut être utilisée en complément pour discrétiser les dérivées sur le temps.

    ===Choix du maillage===

    Le maillage a pour but de subdiviser le domaine spatial de calcul en un grand nombre de petits éléments appelés cellules. Ces cellules sont des segments dans le cas 1D, des surfaces dans le cas 2D ou des volumes dans le cas 3D. Dans le cas de la méthode des volumes finis les grandeurs sont calculées en un point particulier de chacune des cellules appelé centre. La méthode des volumes finis est très souple et les cellules peuvent prendre des formes quelconques ; de plus leurs formes, comme leur taille, peuvent varier selon la position. Le maillage doit cependant vérifier deux conditions :
    * il doit recouvrir totalement le domaine et en particulier les bords des cellules voisines des limites doivent correspondre aux bords du domaine ;
    * il doit être "admissible", c'est à dire que chaque cellule doit posséder un centre tel que chaque ligne joignant ce centre aux centres de chacune des cellules voisines doit obligatoirement être normal à la frontière entre ces cellules et passer par cette frontière (figure 1).


    [[File:mfn7.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Cellule admissible et cellule non admissible.''
    ]]


    Dans le cas d'un maillage régulier, on parle de maillage structuré, par exemple constitué de triangles isocèles ou de carrés juxtaposés de même taille pour un problème à deux dimensions (figure 2), la seconde condition est facilement remplie.


    [[File:MFN1.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 2 : Exemple de maillage structuré avec des cellules carrées ; dans ce cas les flux reliant les centres de cellules contiguës sont obligatoirement normaux à la frontière entre ces cellules.''
    ]]

    Cependant de type de maillage pose également des problèmes :
    * Il permet difficilement de représenter des ouvrages dont la géométrie est compliquée (première condition) ;
    * la taille des cellules est obligatoirement la même partout ce qui, soit limite la précision du maillage, soit conduit à un très grand nombre de cellules.

    On utilise donc souvent des maillages non structurés en utilisant des procédés de construction spécifiques, par exemple triangulation de Delaunay ou polygones de Voronoï (Scheid, 2017) (figure 3).


    [[File:mfn3.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 3 : Exemple de maillage non structuré admissible constitué de polygones convexes particuliers, dits de Voronoï ; Source : Scheid (2017).''
    ]]

    Dans la pratique les logiciels sont généralement dotés de fonctions spécifiques (mailleurs) permettant de construire le maillage de façon assistée. Cette étape reste cependant très délicate car elle nécessite de trouver un équilibre entre la précision attendue et le temps de calcul. Ce compromis impose généralement de densifier le maillage dans les zones où les grandeurs évoluent rapidement (ce qui suppose que l'on a une idée a priori de l'allure du phénomène) (figure 4).


    [[File:mfn5.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 4 : Exemple de maillage parallélépipédique non structuré à 3 dimensions ; l'objectif est ici de représenter les écoulements à surface libre dans une défluence ; Source : Monplot (2014).''
    ]]

    ==Domaines d'utilisation en hydrologie urbaine==

    Les systèmes d'assainissement sont très étendus et constitués d'un grand nombre d'ouvrages. Leur représentation complète par des outils de MFN nécessiterait des capacités de calcul qui sont encore, et sans doute pour longtemps, très supérieures à celle que l'on est capable de mobiliser, que ce soit en taille mémoire (nombre de mailles nécessaires) ou en temps. En effet pour les écoulements à surface libre, la difficulté principale est la détermination claire et précise de la [[Ligne d'eau (HU)|ligne d'eau]], c'est à dire de la séparation entre les fluides eau et air. Cette détermination nécessite une grande finesse du maillage.

    L'utilisation de ces outils est cependant en développement rapide pour représenter des ouvrages spécifiques, en particulier les ouvrages spéciaux présents dans les réseaux et les ouvrages de stockage-décantation (Lipeme-Kouyi, 2022). Les calculs sont le plus souvent effectués en [[Ecoulement permanent (HU)|régime permanent]] (utilisation de la méthode des volumes finis seule), mais également en [[Ecoulement transitoire (HU)|régime transitoire]] (couplage de la méthode des volumes finis et de la méthode des différences finies).

    ===Représentation des défluences et des déversoirs d'orage===

    La simulation du fonctionnement hydraulique des réseaux d'assainissement s'effectue très majoritairement en utilisant les [[Barré de Saint Venant (équations de) (HU)|équations de Barré de saint venant]] à une dimension. Ce modèle repose en particulier sur deux hypothèses :
    * l'écoulement est unidimensionnel en tout point, c'est à dire que tous les filets liquides sont parallèles entre eux et parallèles à l'axe de la conduite ;
    * l'écoulement est [[Ecoulement graduellement varié (HU)|graduellement varié]], c'est à dire que l'on peut négliger les variations de vitesse en fonction du temps ainsi que la concavité de la ligne d'eau.

    Ces hypothèses sont généralement acceptables dans les parties courantes du réseau mais posent problème chaque fois que l'on a une [[Singularité hydraulique (HU)|singularité hydraulique]] : [[Coude (HU)|coude]], [[Jonction (HU)|jonction]], [[Défluence (HU)|défluence]], [[Déversoir d'orage (HU)|déversoir d'orage]], etc. L'utilisation possible des équations de Barré de saint venant à deux dimensions permet de contourner la première hypothèse mais pas la seconde. Cette limite n'est pas très gênante pour la plupart des singularités pour lesquels l'utilisation d'une perte de charge singulière est suffisante. En revanche elle pose un problème important lorsque le flux se divise en plusieurs branches (cas des défluences et des déversoirs d'orage) car l'allure de la ligne d'eau détermine la façon dont se fait le partage. Bien représenter ces ouvrages est donc indispensable pour bien simuler le fonctionnement global du réseau. Les modèles classiques traitent ce problème en posant une hypothèse d'égalité des hauteurs d'eau et/ou des [[Charge hydraulique (HU)|charges hydrauliques]] dans les différentes branches, éventuellement associée à des [[Seuil hydraulique (HU)|lois de seuil]] ou d'[[Orifice (HU)|orifice]]. Or cette hypothèse est loin d'être toujours vérifiée (Monplot, 2014 et figure 5).

    L'utilisation de modèles de MFN pour représenter ce type d'ouvrages permet d'évaluer les incertitudes associées aux représentations classiques et éventuellement de proposer des modélisation simplifiées alternatives (figure 5).


    [[File:mfn6.JPG|600px|center|thumb|
    ''Figure 5 : Les résultats obtenus dans ce cas sur la défluence représentée à la figure 4 montre que, selon la position, le rapport entre la hauteur d'eau et la charge hydraulique varie entre 0 et 1, ce qui est contradictoire avec les hypothèses le plus souvent retenues dans les outils de simulation des réseaux ; noter également la présence d'une importante recirculation ; Source : Monplot (2014).''
    ]]

    Une utilisation particulière des outils de MFN est l'optimisation du positionnement des sondes pour l'autosurveillance des déversoirs d'orage. Les capteurs les plus performants sont en effet les capteurs de niveau. Le calcul du débit déversé connaissant la hauteur d'eau s'effectue ensuite en appliquant une loi de seuil. La difficulté réside dans le fait que la ligne d'eau le long du seuil peut être très variable et très perturbée. Si le capteur n'est pas installé au bon endroit sa mesure peut ne pas être représentative de la forme réelle de la ligne d'eau et les calculs de débit sont alors entachés d'une grande incertitude. L'utilisation d'outils de CFD permet de choisir de façon efficace la meilleure position des sondes et de paramétrer correctement la loi de seuil (Mignot ''et al'', 2011).

    ===Représentation des ouvrages de stockage-décantation===

    On installe de plus en plus souvent des [[Bassin de retenue (HU)|bassins de stockage]] dans les systèmes d'assainissement. Ces ouvrages peuvent avoir une fonction strictement hydraulique ([[Ecrêtement d'un hydrogramme (HU)|laminage des crues]]) ou une fonction de traitement (favoriser la décantation des particules et des polluants associés). Quel que soit leur objectif une bonne maîtrise des phénomènes de dépôt et de reprise est indispensable pour contrôler la décantation, que ce soit pour l'éviter (cas de ouvrages hydrauliques) ou la favoriser (cas des ouvrages de traitement).

    La représentation numérique de ces phénomènes avec les outils de MFN s'effectue en utilisant une représentation bi ou tri-dimensionnel des écoulements dans l'ouvrage et en couplant les équations régissant l'écoulement avec celles régissant le [[Transport solide (HU)|transport solide]]. Un bon calage des conditions de reprise des particules déposées permet de très bien représenter les différents phénomènes (figure 6).


    [[File:mfn8.JPG|400px|center|thumb|
    ''Figure 6 : Comparaison de l'évolution dans le temps du transport solide entre la simulation CFD et un [[Modèle réduit (HU)|modèle réduit]] ; Source : Yan ''et al.' (2020).''
    ]]

    L'utilisation des outils de MFN permet en particulier de bien définir la géométrie d'ouvrage la mieux adaptée en fonction des attentes. Elle permet en effet de tester rapidement des géométries différentes (forme du bassin, position des entrées et ds sorties, utilisation éventuelle de [[Déflecteur (HU)|déflecteur]], etc.). (Yan ''et al'', 2020)

    Bibliographie :
    * Lipeme Kouyi, G. (2022) : Modélisation CFD des écoulements dans les ouvrages spéciaux: déversoirs, bifurcations et bassins ; cours d'hydraulique, INSA Lyon, dpt GCU.
    * Mignot, E., Bonakdari, H., Knothe, P., Lipeme Kouyi, G., Bessette, A., Rivière, N., Bertrand-Krajewski, J.L. (2011) : ''Experiments and 3D simulations of flow structures in junctions and of their influence on location of flowmeters'' ; 12th International Conference on Urban Drainage, Porto Alegre/Brazil, 11-16 September 2011 ; 9p. ; disponible sur [https://www.researchgate.net/profile/Hossein-Bonakdari-2/publication/230564642_Experiments_and_3D_simulations_of_flow_structures_in_junctions_and_their_influence_on_location_of_flowmeters/links/544aa5f80cf2bcc9b1d2f854/Experiments-and-3D-simulations-of-flow-structures-in-junctions-and-their-influence-on-location-of-flowmeters.pdf?origin=publication_detail https://www.researchgate.net]
    * Monplot, A. (2014) : Modélisation tridimensionnelle des écoulements en réseau d’assainissement ; Évaluation des modèles RANS à travers l’étude des écoulements au droit d’ouvrages spéciaux ; thèse de doctorat INSA de Lyon ; 206p. ; disponible sur https://www.theses.fr/2014ISAL0125.pdf.
    * Scheid, J.-F. (2017) : Volumes finis ; Méthodes numériques avancées pour la résolution des EDP ; cours de Master 2 ; IMOI, Université de Lorraine ; 67p. ; disponible sur http://scheid.perso.math.cnrs.fr/Enseignement/polyVF2017_18.pdf.
    * Yan, H., Vosswinkel, N., Ebbert, S., Lipeme Kouyi, G., Mohn, R., (2020) : ''Numerical investigation of particles’ transport, deposition and resuspension under unsteady conditions in constructed stormwater ponds'' ; Environmental Sciences Europe, 2020, 32 (76) ; 17p. ; disponible sur [https://enveurope.springeropen.com/track/pdf/10.1186/s12302-020-00349-y.pdf https://enveurope.springeropen.com]

    Pour en savoir plus :
    * Aksouh, M., Mataoui, A. (non daté) : Travaux pratiques de mécanique des fluides numériques ; cours de master INSA Lyon, LMFTA ; 45p. ; disponible sur [https://www.scribd.com/document/496147046/tp-cfd-master-dfe https://www.scribd.com/document]

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dimanche 24 avril 2022

  • Chicago (pluie de projet type) (HU)

    Bernard Chocat : /* Principes du modèle */


    ''Traduction anglaise :Chicago design storm''

    Dernière mise à jour : 24/04/2022

    Modèle de [[Pluie de projet (HU)|pluie de projet]] tel que les [[Intensité moyenne maximale (HU)|intensités moyennes maximales]] sur différentes durées ont la même [[Période de retour (HU)|période de retour]].

    ==Principes du modèle==

    Les pluies de projet de type Chicago constituent une version discrétisée des [[Keifer (pluie de projet de) (HU)|pluies de projet de type Keifer-Chu]]. Certains auteurs confondent d'ailleurs les deux types de pluie de projet. Dans les deux cas on calcule les intensités instantanées de façon à ce que les cumuls sur une durée donnée correspondent à une période de retour fixée à priori (Keifer et Chu, 1957).

    ==Mode de construction==

    Dans le cas des pluies de projet de type Chicago on choisit a priori un nombre de durées pour lesquelles on souhaite que l'intensité moyenne correspondent à une période de retour donnée, par exemple 5, 15, 30, 60 et 120 minutes. On choisit également la position du maximum de la pluie, par exemple r=0{,}5 dans le cas d'une pluie symétrique (r étant égal au rapport entre le temps d'apparition du maximum et la durée totale de la pluie).

    On calcule ensuite les cumuls de pluie pour la période de retour choisie et les différentes durées retenues, par exemple en utilisant un [[Montana (formule type) (HU)|ajustement de type Montana]] des [[Intensité-durée-fréquence / IDF (HU)|courbes intensité-durée-fréquence]] :


    H(d) = a(T).d^{(b(T)+1} \quad(1)



    avec :
    * H(d) : hauteur de pluie précipitée pendant la durée d ;
    * T : période de retour choisie ;
    * a(T) et b(T) : coefficients de Montana correspondant à la période de retour choisie ;
    * d : durée considérée (dans notre cas : 5, 15, 30, 60, 120 minutes).

    On en déduit ensuite simplement les intensités moyennes maximum sur chacun des intervalles de temps, soit, pour l'exemple choisi :

    Pendant la période de 5 minutes de pluie intense :


    i_1 = 60.\frac{1}{5}.a(T).5^{(b(T)+1} \quad(2)



    Pendant les périodes suivantes situées de part et d'autre de la période de pluie intense :



    i_2 = 60.\frac{1}{15-5}.\left[a(T).15^{(b(T)+1}-a(T).5^{(b(T)+1}\right] \quad(3)




    i_3 = 60.\frac{1}{30-15}.\left[a(T).30^{(b(T)+1}-a(T).15^{(b(T)+1}\right] \quad(4)




    i_4 = 60.\frac{1}{60-30}.\left[a(T).60^{(b(T)+1}-a(T).30^{(b(T)+1}\right] \quad(5




    i_5 = 60.\frac{1}{120-60}.\left[a(T).120^{(b(T)+1}-a(T).60^{(b(T)+1}\right] \quad(6)



    Nota : la multiplication par 60 permet de passer des mm/minute aux mm/h.

    On obtient ainsi facilement le hyétogramme recherché (figure 1).


    [[File:pluie_chicago.png|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Exemple de hyétogramme d'une pluie de projet centrée de type Chicago.''
    ]]

    Nota : Dans le cas limite où on choisit un seul intervalle de temps, on obtient une [[Pluie bloc (HU)|pluie de type bloc]] d'intensité constante.

    ==Intérêt et limites des pluies de projet de type Chicago==

    Les pluies de projet de type Chicago sont un peu plus faciles à construire et à utiliser que les pluies de type Keifer. Elles présentent cependant les mêmes limites :

    * elles reposent sur l'hypothèse que toutes les pluies, quelle que soit leur durée, ont la même forme ce qui est faux ;
    * la valeur retenue pour r (position du maximum) est généralement la valeur moyenne observée ; or il semblerait que la position du maximum soit régie par une loi sensiblement uniforme sur l'intervalle [0{,}1] ; les valeurs voisines de 0{,}5, généralement retenues, ne seraient donc pas plus probables que les valeurs 0 ou 1 (Desbordes et Raous, 1980) ;
    * enfin et surtout, la période de retour que l'on doit attacher à un tel événement pluviométrique est supérieure à la période de retour de la courbe IDF à partir duquel il a été construit. En effet, du fait du mode de construction, la pluie a la même période de retour quelle que soit la durée d'analyse, ce qui n'est pas le cas d'une pluie réelle. La période de retour réelle des débits générés par un tel événement pluvieux est donc également supérieure à celle escomptée ; elle est de plus difficile à déterminer. Il faut cependant noter que le mode de construction permet de choisir des périodes de retour différentes pour chacune des durées, ce qui diminue la portée de cet argument (voir [[Normand (modèle de) (HU)]]).

    Bibliographie :
    * Desbordes, M., Raous, P. (1980) : Fondements de l'élaboration d'une pluie de projet urbaine : méthodes d'analyse et application à la station de Montpellier Bel Air ; La météorologie ; n°20-21 ; pp. 317- 326 ; juin 1980.
    * Keifer, D.J., Chu, H.H. (1957) : ''Synthetic Storm Pattern for Drainage Design'' ; ASCE Journal of the Hydraulics Division, Vol. 83 (HY4), pp 1332.1-1332.25

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Modélisation_de_la_pluie_(HU)]]

jeudi 21 avril 2022

  • TELEMAC-MASCARET (HU)

    Bernard Chocat :


    Dernière mise à jour : 21/04/2022

    Suite intégrée de solveurs permettant la représentation d'un grand nombre de phénomènes dans le domaine des écoulements à surface libre ; il s'agit de l'un des standards majeurs du domaine.

    ==Architecture et différents modules de TELEMAC-MASCARET==

    TELEMAC-MASCARET est constitué de différents modules qui peuvent être utilisés de façon couplée. Il dispose en particulier de 5 modules de représentation des écoulements à surface libre :
    * [[MASCARET (HU)|MASCARET]] : qui résout les [[Barré de Saint Venant (équations de) (HU)|équations de Barré de Saint venant]] à 1 dimension ;
    * [[TELEMAC 2D (HU)|TELEMAC2D]] : qui résout les équations de Barré de Saint venant à 2 dimensions ;
    * TELEMAC3D : qui résout les [[Navier-Stokes (équation de) (HU)|équations de Navier-Stokes]] ;
    * ARTEMIS : qui résout les équations de Berkhoff (houle et vagues) ;
    * TOMAWAC : outil d'analyse spectrale des vagues.

    A ces éléments principaux viennent se rajouter un module de simulation du transport solide :
    * SISYPHE qui vient d'être remplacé par GAIA ;

    Ainsi que deux modules complémentaires :
    * NESTOR : module de simulation de l'érosion ;
    * WAQTEL : qui simule la qualité de l'eau.


    [[File:rupture_barrage_malpasset.png|600px|center|thumb|
    ''Figure 1 : Exemple de traitement : simulation de la rupture du barrage de Malpasset ; Source : [http://docs.opentelemac.org/doxydocs/v8p2r0/html/index.html http://docs.opentelemac.org]''
    ]]

    ==Gestion de TELEMAC-MASCARET==

    TELEMAC-MASCARET est géré par un Consortium d'organisations centrales : Artelia (anciennement Sogreah, France), Bundesanstalt für Wasserbau (BAW, Allemagne), Centre d'Etudes et d'Expertise sur les Risques, l'Environnement, la Mobilité et l' Aménagement (CEREMA, France), Electricité de France R&D (EDF, France) et HR Wallingford (Royaume-Uni). Le Consortium est en outre renforcé scientifiquement par le Laboratoire de Daresbury (Royaume-Uni) et le Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée en Calcul Scientifique (CERAFCS, France).

    TELEMAC-MASCARET est disponible en ''open source'' et peut ainsi être utilisé et évalué par toute la communauté scientifique et technique. Des services payants sont également proposés.

    Pour en savoir plus :
    * http://www.openmascaret.org/

  • Guilde (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : ecological guild''

    Dernière mise à jour : 21/04/2022

    En écologie, ce terme désigne un ensemble d'espèces appartenant à un même groupe taxonomique ou fonctionnel qui exploitent une ressource commune de la même manière en même temps, donc partageant la même [[Niche écologique (HU)|niche écologique]] ; on précise souvent guilde écologique (GE).

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Processus_écologiques_et_fonctionnement_des_écosystèmes_aquatiques_(HU)]]

dimanche 10 avril 2022

  • Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/AMIR - COTTET-GAYDON - WUILMOT

    Jean-Michel Tanguy : /* Modèle de Berkhoff */


    Pour retourner à la page énoncé du sujet : [[Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022]]


    =='''Introduction'''==

    De nos jours le changement climatique est de plus en plus important et risque, si nous ne faisons rien, de bousculer nos vies. Un des premiers secteurs touchés par ce réchauffement climatique est le secteur côtier. Notamment, dans son rapport de février 2022, le GIEC alertait qu'une montée des eaux comme nous ne l'avions pas connu depuis 3000ans allait se produire à cause de ce dernier. En effet, d’après l’OCDE, le niveau des mers pourrait augmenter de plus d’un mètre dans les 80 prochaines années. Une telle augmentation engendrerait des déplacements massifs de population ainsi que de nombreux dommages sur nos infrastructures.

    [[Fichier: erosion cotes.jpg|500px]]

    A travers ce projet, nous étudierons l'impact du changement climatique sur les côtes et dans les estuaires.

    ==='''Modèle de Berkhoff'''===

    La propagation des vagues est un problème tridimensionnel compliqué. Pour simplifier ce problème, Berkhoff (1972) vient réduire ce problème a 2 dimensions en combinant en un seul modèle les effets de la réfraction et de la diffraction.

    Ainsi, pour modéliser la houle nous allons utiliser le modèle de Berkhoff, ou l'équation de pente douce.

    En bi-dimensionnel : \boxed{\displaystyle\color{red}\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0}

    avec :
    * \phi : le potentiel,

    * k : le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence \omega , par la relation implicite \omega^2=gk \tanh(kH) ,

    * C : la célérité de l’onde,

    * C_g : la célérité de groupe des vagues.

    Pour simplifier le problème, nous nous plaçons dans le domaine des houles longues (dont la longueur d'onde est supérieur a 300m). Ainsi : C=C_g=\sqrt{gH}

    L'équation donnant l'évolution dans le temps de la hauteur de houle est : h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t)) avec \phi(x,t)=\phi(x)e^{-iwt}

    Remarque : Dans le cas de la houle, l'entrée se situe en aval et la sortie en amont

    ==='''Principe d'homotopie'''===

    L'homotopie est une méthode permettant de passer d'une solution initiale à une solution exacte grâce au paramètre p qui varie entre 0 à 1. L'idée est d'assurer une déformation continue entre la solution initiale, lorsque p=0, et la solution exacte du système d'équations à résoudre, lorsque p=1.
    L'intérêt de la méthode est qu'elle permet de partir d'une solution connue relativement simple et de converger vers une solution complète et ainsi atteindre la solution finale avec peu de termes. De plus elle utilise la résolution formelle et peut donc facilement être programmée à l'aide d'outils de calcul formel tel que WXMAXIMA.

    L'objectif du projet est alors de résoudre l'EDP de Berkhoff par la méthode semi-analytique d'homotopie grâce à des conditions limites et des conditions initiales ad-hoc fonction du domaine étudié et du régime de houle du projet.

    == ''' 1ercas - Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont''' ==



    Dans un premier temps, nous étudions le cas d'un canal plat de longueur L.

    ''Conditions aux limites :''

    * Condition de Dirichlet : entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire \phi(x=0) = 1

    * Condition de Robin : sortie libre par l'amont \phi_{x}(x=L) =ik\phi(x=L)

    Pour simplifier le problème, nous imposons ces 2 conditions en x=0 (car ceci est équivalent au cas où les 2 conditions sont imposées aux 2 extrémités du domaines (c'est à dire en x=0 et x=L))

    ''Simplification de l'équation de Berkhoff :''
    Dans ce premier cas, l'équation de Berkhoff devient \boxed{\color{red}\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0}

    ==='''Solution analytique'''===

    L'équation caractéristique associée à \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi = 0 est : x^{2} + k^{2} = 0 .

    Ainsi \Delta = -4k^{2} < 0

    d'où \phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx}

    Grâce aux CL on détermine les constantes A et B :

    * \phi(x=0)=A+B=1

    * \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=ik \phi \quad \Longrightarrow A=0 et B=1

    De cette manière : \phi(x)=e^{ikx} \Longrightarrow \phi(x,t)=e^{i(kx-wt)}

    L'évolution de la hauteur de la houle devient alors : \boxed{\color{red}h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=\cos(kx-wt)}

    ==='''Solution par homotopie'''===

    La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:

    (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0

    En injectant la décomposition en série entière \phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+... et sa seconde dérivée:

    \phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...

    Nous obtenons:

    (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0

    Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.

    ====Ordre 0====

    En p=0, la relation d'homotopie devient :
    \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow \phi_{0} = Ax+B

    Grâce au CL on détermine les constantes A et B :

    * \phi_{0}(x=0)=1 \Longleftrightarrow B=1

    * \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{0}(x=L) \Longleftrightarrow A=ik(AL+B) \Longleftrightarrow A=\frac{ik}{1-ikL}

    D'où \boxed{\color{red}\phi_{0} =\frac{ik}{1-ikL}x+1}

    ====Ordre 1====

    En p=1, la relation d'homotopie devient :
    \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} + k^2\phi_{0}= 0 \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2\iint\phi_{0}\mathrm{d}x\mathrm{d}x + A'x + B' \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2}) + A'x + B'

    Grâce au CL on détermine les constantes A' et B' :

    * \phi_{1}(x=0)=0 \Longleftrightarrow B'=0

    * \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{1}(x=L) \Longleftrightarrow -k^2(\frac{ikL^2}{2(1-ikL)}+L) + A' = ik(-k^2(\frac{ikL^3}{6(1-ikL)}+\frac{L^2}{2}) + A'L) \Longleftrightarrow A' = -\frac{k^2L(k^2L^2+3ik- 3)}{3(1-ikL)^2}

    D'où \boxed{\color{red}\phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2}) - \frac{k^2L(k^2L^2+3ik- 3)}{3(1-ikL)^2}x}

    ====Ordres supérieurs====

    On utilise le logiciel WXMAXIMA pour trouver \phi à tous les ordres.

    avec k=\frac{1}{100} (nombre d'onde en m-1), H=40 (profondeur en m), c=\sqrt{gH} (célérité de l'onde en m/s), \lambda=\frac{2\pi}{k} (longueur d'onde en m), L=2\lambda (longueur du domaine en m).

    Puis on superpose la solution analytique et la solution par homotopie

    [[Fichier:Cas 1.gif|500px]]

    On constate que la solution par homotopie converge vers la solution analytique

    ==='''Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde'''===

    Dans ce premier cas, on constate que plus le produit kL est petit, plus la solution par homotopie converge rapidement (exemple avec kL=0,25 , kL=1 et kL=2 )

    [[Fichier:cas 1 kL=0,25.png|300px]] [[Fichier:cas 1 kL=1.png|300px]] [[Fichier:cas 1 kL=2.png|300px]]

    == ''' 2èmecas - Canal monodimensionnel plat avec réflexion totale en amont''' ==

    Dans ce deuxième cas, nous nous plaçons toujours dans l'hypothèse d'un canal plat de longueur L mais avec des conditions aux limites différentes.

    ''Conditions aux limites :''

    * Flux en aval : \phi_{x}(x=0) =ik(2-\phi(x=0))

    * Réflexion totale en amont : \phi_{x}(x=L) = 0

    ''Simplification de l'équation de Berkhoff :''
    L'équation de Berkhoff se simplifie de la même façon que dans le 1ercas \boxed{\color{red}\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0}

    ==='''Solution analytique'''===

    L'équation caractéristique associée à \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi = 0 est : x^{2} + k^{2} = 0 .

    Ainsi \Delta = -4k^{2} < 0

    d'où \phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx}

    Grâce aux CL on détermine les constantes A et B :

    * \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi(x=0)) \Longleftrightarrow -ikA + ikB = ik(2-(A+B)) \Longleftrightarrow B=1

    * \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow -ikAe^{-ikL}+ikBe^{ikL} = 0 \Longleftrightarrow A=e^{2ikL}

    De cette manière : \phi(x)=e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} \Longrightarrow \phi(x,t)=e^{i(k(2L-x)-wt)}+e^{i(kx-wt)}

    L'évolution de la hauteur de la houle devient alors : \boxed{\color{red}h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=cos(k(2L-x)-wt)+cos(kx-wt)}

    ==='''Solution par homotopie'''===

    ====Ordre 0====

    En p=0, la relation d'homotopie devient :
    \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow \phi = Ax+B

    Grâce au CL on détermine les constantes A et B :

    * \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A=0

    * \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi_{0}(x=0)) \Longleftrightarrow 0=ik(2-B) \Longleftrightarrow B=2

    D'où \boxed{\color{red}\phi_{0} = 2}

    ====Ordre 1====

    En p=1, la relation d'homotopie devient :
    \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} + k^2\phi_{0}= 0 \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2x^2 + A'x + B'

    Grâce au CL on détermine les constantes A' et B' :

    * \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A'=2k^2L

    * \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=0)=ik\phi_{1}(x=0) \Longleftrightarrow 2k^2L=ikB' \Longleftrightarrow B'=2ikL

    D'où \boxed{\color{red}\phi_{1} = -k^2x^2 + 2k^2Lx + 2ikL}

    ====Ordres supérieurs====

    On utilise le logiciel WXMAXIMA pour trouver \phi à tous les ordres

    Puis on superpose la solution analytique et la solution par homotopie

    [[Fichier:cas 2 kL=0,001.gif|500px]]

    On constate que la solution par homotopie converge vers la solution analytique

    ==='''Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde'''===

    On remarque cependant que selon la valeur du produit kL (notamment kL \geqslant 1) la solution ne converge pas

    Exemple pour kL = 1 :

    [[Fichier:cas 2 kL=1.gif|300px]]

    ==='''Analyse des résultats, des limites et de l'interêt de la méthode d'homotopie dans les cas 1 et 2'''===

    Grâce à la méthode d'homotopie nous pouvons déterminer les solutions du modèle à partir de solutions simples et grâce au logiciel WXMAXIMA nous pouvons tracer l'évolution de la houle en fonction du temps.

    Ce modèle nous permet d'étudier un cas simple de modélisation de la houle. Tout d'abord, nous faisons l'hypothèse d'une onde monodimensionnelle alors qu'en réalité l'onde est tridimensionnelle. Ensuite, nous n'avons pas pris en compte plusieurs paramètres tel que l'irrégularité des fonds océaniques et des littoraux.

    =='''3èmecas - Canal monodimensionnel avec une pente de fond constante'''==


    Dans ce troisième cas, nous nous plaçons dans l'hypothèse d'un canal monodimensionnel avec une pente de fond constante \displaystyle s = \frac{1}{200} , avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et sortie libre en amont.


    ''Conditions aux limites :''

    * En aval : \displaystyle \phi = 1 (Condition de Dirichlet)

    * En amont : \displaystyle \phi_{x} = ik\phi (Condition de Robin)

    La résolution est plus complexe car \displaystyle H(x) n'est plus égal à \displaystyle Ho mais à \displaystyle H(x) = H_{0} - sx

    En reprenant le modèle de Berkhoff : \displaystyle ∇.(CCg∇ϕ)+k^2CCgϕ=0 avec \displaystyle CCg = gH(x) , on obtient : \displaystyle \boxed{\color{red}\displaystyle H(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k_{0}^2H_{0} \phi = 0}


    ==='''Solution analytique'''===


    L'équation de Berkhoff se simplifie en prenant pour expression de la profondeur du fond : \displaystyle H(x) = H_{0} - sx et en prenant \displaystyle k (nombre d'onde) non constant et égal à : \displaystyle k(x) = k_{0}\sqrt{\frac{H_{0}}{H_{0}-sx}}

    On cherche donc à résoudre l'équation : \displaystyle (H_{0} - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k_{0}^2H_{0} \phi = 0

    Pour se faire, on cherche à mettre cette équation sous la forme d'une équation de type Bessel : \displaystyle z\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \alpha^2 \phi = 0

    En effectuant le changement de variable \displaystyle z(x) = H_{0} - sx , on trouve : \displaystyle \boxed{\color{red}\displaystyle z(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{k_{0}^2H_{0}}{s^2} \phi = 0}

    Donc : \displaystyle \alpha^2 = \frac{k_{0}^2H_{0}}{s^2}


    La solution générale de cette équation est :
    \displaystyle \phi(z) = C_{1} * J_{0}(2\alpha\sqrt{z}) + C_{2} * Y_{0}(2\alpha\sqrt{z})

    Avec :
    * \displaystyle J_{0} : fonction de Bessel de première espèce
    * \displaystyle Y_{0} : fonction de Bessel de deuxième espèce
    * \displaystyle C_{1} et \displaystyle C_{2} : constantes à déterminer


    On détermine les constantes \displaystyle C_{1} et \displaystyle C_{2} à l’aide des conditions aux limites :

    * \displaystyle \phi(z = H_{0}) = 1
    * \displaystyle -s \phi(z = H_{0} - sL) = ik\phi(z = H_{0} – sL)


    Et en utilisant le fait que :

    * \displaystyle \frac{\partial z^nJ_n(z)}{\partial z} = z^nJ_{n-1}(z)
    * \displaystyle J_{-1}(z) = -J_1(z)


    On résout le système et on trouve :

    * \displaystyle C_{1} = \frac{Y_{1}^L – i Y_{0}^L}{J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)}
    * \displaystyle C_{2} = - \frac{ J_{1}^L – i J_{0}^L}{ J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)}

    Avec :

    * \displaystyle J_{0}^0 = J_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}})
    * \displaystyle Y_{0}^0 = Y_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}})
    * \displaystyle J_{0}^L = J_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL})
    * \displaystyle Y_{0}^L = Y_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL})
    * \displaystyle J_{1}^L = J_{1}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL})
    * \displaystyle Y_{1}^L = Y_{1}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL})


    D’où : \boxed{\color{red}\displaystyle \phi(z) = \frac{Y_{1}^L – i Y_{0}^L}{J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)} * J_{0}(2\alpha\sqrt{z}) - \frac{ J_{1}^L – i J_{0}^L}{ J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)} * Y_{0}(2\alpha\sqrt{z})}


    ==='''Solution par homotopie'''===


    Pour ce cas, la relation d’homotopie est la suivante :

    \displaystyle (1 – p) \phi_{xx} + p ((1 - \epsilon x) \phi_{xx} - \epsilon \phi_{x} + ko^2 \phi) = 0

    A l’aide de la décomposition en série entière de \displaystyle \phi et de ses dérivées, on obtient :

    \displaystyle (1 – p) * (\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) + p * ((1 - \epsilon x) * (\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) - \epsilon * (\phi_{0,x} + p\phi_{1,x}(x) + p^2\phi_{2,x}(x) + p^3\phi_{3,x}(x) + …) + ko^2 * (\phi_{0} + p\phi_{1}(x) + p^2\phi_{2}(x) + p^3\phi_{3}(x) + …)= 0


    ====Ordre 0====

    À l’ordre 0 (correspondant à une puissance de p nulle), on a la relation :

    \displaystyle \phi_{0,xx} = 0 \Longleftrightarrow \phi_{0} = A * x + B


    A l’aide des conditions aux limites, on détermine les constantes A et B :

    * \displaystyle \phi_{0}(x = 0) = 1 \Longleftrightarrow B = 1
    * \displaystyle \phi_{0,x}(x = L) = ik(L) \phi_{0}(x = L) \Longleftrightarrow A = \frac{ik(x)}{1 – ik(x)L}

    D’où : \boxed{\color{red}\displaystyle \phi_{0}(x) = 1 + \frac{ik(x)}{1 – ik(x)L}*x}


    ====Ordre 1====

    A l’ordre 1, on a la relation :

    \displaystyle \phi_{1,xx} - \phi_{0,xx} + (1 - \epsilon x)\phi_{0,xx} - \epsilon\phi_{0,x} + k_{0}^2 \phi_{0} = 0

    Cette expression se simplifie :
    \displaystyle \phi_{1,xx} - \epsilon\phi_{0,x} + k_{0}^2 \phi_{0} = 0

    Comme on connait \displaystyle \phi_{0} , en intégrant deux fois cette expression, on trouve \displaystyle \phi_{1} :
    \displaystyle \phi_1(x) = \int \int (\epsilon \phi_{0,x}-k_0^2\phi_0) \,dx\,dx +A_1x+B_1

    A l’aide des conditions aux limites, \displaystyle \phi_{1}(x = 0) = 0 et \displaystyle \phi_{1,x}(x = L) = ik(L) \phi_{1}(x = L) , on trouve les constantes grâce à la programmation sur le logiciel wxmaxima.


    ====Ordres supérieurs====

    Pour n \geq 1 , on a la relation :

    \displaystyle \phi_{n,xx} - \phi_{n-1,xx} + (1 - \epsilon x)\phi_{n-1,xx} - \epsilon \phi_{n-1,x} + k_0^2 \phi_{n-1} = 0

    Donc, \displaystyle \phi_n(x) = \int \int (\epsilon x \phi_{n-1,xx} + \epsilon\phi_{n-1,x} - k_0^2 \phi_0) \,dx\,dx + A_n x + B_n

    On peut résoudre cette équation par récurrence avec les conditions initiales :
    * \displaystyle \phi_{n}(x = 0) = 0
    * \displaystyle \phi_{n,x}(x = L) = ik(L) \phi_{n}(x = L)



    On utilise le logiciel WXMAXIMA pour trouver \displaystyle \phi à tous les ordres puis on superpose la solution analytique et la solution par homotopie

    Avec les valeurs numériques suivantes, on remarque que la solution par homotopie converge vers la solution analytique à partir de l'ordre 9 :


    * \displaystyle H_0 = 40 (profondeur en m )
    * \displaystyle k_0 = \frac{1}{100} (nombre d'onde en m^(-1) )
    * \displaystyle L = 100 (longueur du domaine en m )
    * \displaystyle s = \frac{1}{200} (pente du fond)


    [[Fichier:Webp.net-gifmaker.gif|500px]]


    ==='''Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde'''===

    On constate que plus le produit \displaystyle kL est proche de \displaystyle 1 , plus la solution par homotopie converge rapidement (exemple avec \displaystyle kL = 0,1 , \displaystyle kL=0,5 , \displaystyle kL=1 et \displaystyle kL=2 , à l'ordre \displaystyle 9 )


    [[Fichier:sensibilité kL = 0,1.PNG|300px]] [[Fichier:sensibilité kL=0.5.PNG|300px]] [[Fichier:ordre 9.PNG|300px]] [[Fichier:sensibilité kL=2.PNG|300px]]

    =='''4èmecas - Vague générée par une source périodique sinusoïdale '''==

    Dans ce 4ème cas, nous allons nous intéresser à une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale.

    Nous traitons ici de l'évolution de la surface libre dans un domaine infini en grande profondeur. La source ponctuelle est appliquée autour d'un cercle de rayon r_0 centré sur un domaine circulaire de rayon R qui laisse sortir librement cette onde en r=R .

    ''Conditions aux limites'':
    * \phi(r=r_0)=1
    * \frac{\partial \phi}{\partial r}(r=R)=ik\phi(r=R)


    ''Simplification de l'équation de Berkhoff :''

    L'équation de Berkhoff se simplifie alors en équation de Helmholtz et s'exprime en coordonnées polaires avec les conditions suivantes \displaystyle\boxed{\color{red} \Delta \phi + k^2\phi=0 }

    En coordonnées polaires, la relation ci-dessus s'écrit de manière simplifiée étant donné que le problème est caractérisé par une symétrie de révolution, donc est indépendant de \theta .

    \boxed{\displaystyle\color{red} \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0}

    ==='''Solution analytique'''===

    L'équation \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0 est une équation de Bessel. La solution générale de cette équation est donc de la forme :

    \phi(r)=AJ_0(r)+BY_0(r)

    * J_0 : fonction de Bessel de 1ère espèce
    * Y_0 : fonction de Bessel de 2ème espèce
    * A et B : constante

    Grâce aux conditions limites, on détermine les constantes A et B.

    * AJ_0(r_0)+BY_0(r_0)=1
    * AJ_0'(R)+BY_0'(R)=ik\ (AJ_0(R)+BY_0(R))


    En utilisant le fait que :

    * \displaystyle\frac{\partial r^nJ_n(r)}{\partial r} = r^nJ_{n-1}(r)
    * J_{-1}(r) = -J_1(r)

    On trouve :
    * A = \displaystyle\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}
    * B = \displaystyle\frac{1 }{Y_0(r_0)} \left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)


    D'où \displaystyle\phi(r)=\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}J_0(r)+\frac{1 }{Y_0(r_0)}\left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)Y_0(r)



    A l'aide du logiciel Maxima, on peut ensuite tracer l'évolution de la hauteur de l'eau h(r) = {Re}(\phi(r))

    [[File:solution_analytique_cas4.png|400px]]

    ==='''Solution par homotopie'''===

    Pour ce cas, la relation d'homotopie est la suivante :
    (1-p)\phi_{rr}+p(\phi_{rr}+\frac{1}{r}.\phi_{r}+k^2\phi)=0

    Comme précédemment, on utilise la décomposition en série entière \phi(r,p)=\phi_0(r)+p\phi_1(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+...
    et sa seconde dérivée: \phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...

    Nous obtenons:

    (1-p)(\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...)+p[\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...+k^2(\phi_0(r)+p\phi_0(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+...)]=0

    ====Ordre 0====

    A l'ordre 0, on obtient la relation \phi_{0,rr}(r)=0 \Longleftrightarrow \phi_0(r)=Ar + B

    Grâce aux CL on détermine les constantes A et B :
    * Ar_0 + B = 1 \Longleftrightarrow A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}
    * A = ik(AR + B) \Longleftrightarrow B = \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}


    D'où \boxed{\color{red}\displaystyle \phi_0(r) = \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}r + \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)} }

    ====Ordre 1====

    A l'ordre 1, on trouve la relation \displaystyle \phi_{1,rr}(r) + \frac{1}{r}\phi_{0,r}(r) + k^2\phi_0(r) =0 \Longleftrightarrow \displaystyle\phi_1(r) + A r(ln(r)-1) + \frac{Ak^2}{6}r^3 + \frac{Bk^2}{2}r^2 +Cr + D = 0

    avec :
    * A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}
    * B = \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}

    En utilisant les conditions limites, on trouve que :
    \boxed{\displaystyle\color{red}\phi_1(r) + A r(ln(r)-1) + \frac{Ak^2}{6}r^3 + \frac{Bk^2}{2}r^2 +\frac{ik(\delta - \alpha) - \beta}{1 + ik(r_0 - R)}r + \frac{\beta - ik(\delta - \alpha)}{1 + ik(r_0 - R)}r_0 - \alpha = 0 }

    Sachant que :
    * \alpha = \displaystyle r_0(ln(r_0)-1)A + \frac{Ak^2}{6}r_0^3 + \frac{Bk^2}{2}r_0^2
    * \beta = \displaystyle Aln(R) + \frac{Ak^2}{2}R^2 + Bk^2R
    * \delta = \displaystyle R(ln(R)-1)A + \frac{Ak^2}{6}R^3 + \frac{Bk^2}{2}R^2

    ====Ordres supérieurs====

    Pour n \geq 1 , on trouve la relation de récurrence suivante : \boxed{\displaystyle\color{red}\phi_{n,rr}(r)+\frac{1}{r}\phi_{n-1,r}(r)+k^2\phi_{n-1}(r) =0 }.

    On utilise ensuite le logiciel MAXIMA pour résoudre et trouver \phi à un ordre quelconque.


    ==='''Application temporelle'''===

    Dans cette partie, nous allons réaliser une application temporelle avec une fréquence de \omega=\sqrt{gk} car nous sommes en profondeur infinie.


    ==''' Conclusion '''==

    L'intérêt de la méthode d'homotopie est qu'elle nous permet de simuler tous les cas de figures et tous les profils de vague possibles, y compris les plus complexes, non résolubles analytiquement.

    De nos jours, et cela va s'accentuer avec les changements climatiques, la modélisation de la houle est un outil très important. En effet, elle nous permet de prévoir la forme et donc l'impact des vagues sur les côtes, ce qui permet de prévoir les infrastructures nécessaires à construire pour empêcher les dégâts.

  • Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/CALLOCH - DECHAVASSINE - DIANOUX

    Jean-Michel Tanguy : /* Ordre n */


    Pour retourner à la page énoncé du sujet : [[Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022]]
    == Cadre de l'étude ==
    ===Contexte===
    Le changement climatique entraîne des bouleversements majeurs dans l'ensemble des conditions de vie de notre planète. Parmi eux, nous nous intéressons ici à l'élévation du niveau des océans, qui contribue au recul du trait de côte sur les littoraux. Ce phénomène est bien visible en France, comme l'illustre cette photographie:

    [[File:erosion_littoral_SudOuest.jpg|400px|érosion du trait de côte, Soulac-sur-Mer, Aquitaine, 3 février 2014|érosion du trait de côte, Soulac-sur-Mer, Aquitaine, 3 février 2014 ]]

    ''Source:"Sud Ouest" / Julien Lestage''

    Cette érosion est notamment provoquée par la houle, mouvement ondulatoire de la surface de la mer provoqué par le vent loin des côtes.
    De nombreuses études sont menées sur ce phénomène dans des laboratoires de recherche et utilisent pour cela des canaux ou bassins à houle (comme au [https://m2c.cnrs.fr/poles-de-competences/mesocosmes-et-modelisation-analogique/ laboratoire M2C-CNRS/Univ. de Rouen/Univ. de Caen] https://m2c.cnrs.fr/poles-de-competences/mesocosmes-et-modelisation-analogique/).
    On peut en voir un exemple ici:

    [[File:canalHoule_OuestFrance.jpeg|400px|Canal à houle de l'ESITC]]

    ''Source: Ouest-France/ESITC/EDINBURGH DESIGNS LTD - 15/01/2018''


    Le schéma ci-dessous permet de comprendre les principales étapes de formation de ce phénomène:

    [[File:schemahoule_magicsurfschool.png|400px|Schéma des phases de la houle]]

    ''Source: site internet magicsurfschool.com/blog/formation-des-vagues/''

    La démarche présentée par la suite repose sur la modélisation de la houle par deux méthodes de résolution différentes:

    *une méthode analytique, notamment grâce au logiciel MAXIMA pour les équations les moins évidentes à résoudre analytiquement
    *une méthode d'homotopie, utilisant la décomposition en série entière de la solution

    ===Modélisation===
    On cherche à modéliser une houle dans quatre cas différents. Pour cela, on utilise le modèle de Berkhoff, dont l'équation est :

    :::\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0

    \phi est le potentiel, k est le nombre d’onde, C est la célérité de l’onde et C_g est la célérité de groupe des vagues.

    On se place dans le domaine des ondes longues, ce qui entraîne que C = C_g = \sqrt{gH}, avec g l'accélération de la pesanteur et H la profondeur du canal. L'équation de Berkhoff devient ainsi :

    :::'''\nabla^2 \phi + k^2\phi = 0'''.

    L'évolution de la hauteur de la houle en fonction du temps est donnée par : h(x,t)=\Re \left (\phi e^{-i\omega t} \right )


    Nous allons résoudre cette équation en utilisant la méthode d''''homotopie''', plus précisément la méthode HAM "Homotopie Perturbation Method". Le principe est de pouvoir passer, par une transformation continue, d'un milieu complexe dont il est difficile de connaitre le comportement à un milieu plus simple.

    Elle consiste à résoudre l'équation (1-p)L(\phi-\psi)+pH(p)({d^2 \phi \over {dx^2}} + k^2 \phi)=0, avec L un opérateur linéaire (ici on prendra la dérivée seconde par rapport à x) et \psi la solution initiale. p est un paramètre qui varie entre 0 et 1, il représente la progression de la solution initiale ( p = 0) à la solution finale (p = 1). La méthode HAM implique que H(p) = 1

    == Cas n°1 : Canal plat ouvert ==

    On considère un canal à fond plat, ouvert aux deux extrémités, de longueur L et de profondeur H. On adopte la notation \phi_x pour la dérivée de \phi par rapport à x et \phi^x pour la valeur de \phi en x.

    En aval, il entre une onde de fréquence unitaire \phi=1 (condition de Dirichlet) et sortie libre amont \phi_x=ik\phi (condition de Robin).

    [[File:Diagramme canal cas 1.png|400px]]

    === Résolution analytique ===
    Soit à résoudre : \phi_{xx} + k^2\phi = 0

    La solution est donc de la forme : \phi = Ae^{-ikx} + B e^{ikx}

    Les conditions aux limites de notre problème sont : \phi^0 = 1 et \phi_x^L = \phi^L

    Donc B = 1 et A = 0

    Ainsi, \phi = e^{ikx} . L'enjeu est maintenant de retrouver cette solution en utilisant la méthode d'homotopie.



    === Résolution homotopique ===
    : Avec une solution initiale nulle, la relation d'homotopie devient :

    (1-p)\phi_xx + k^2\phi = 0

    On décompose \phi en somme de fonctions : \phi = \sum_{i=0}^{+\infty} p^i\phi_i
    Cette relation est vrai quel que soit p, donc on peut établir que les coefficients de chaque puissance de p sont nuls aussi. On décompose par ordre, c'est-à-dire par puissance de p.

    * '''Ordre 0'''

    \phi_{0,xx} = 0 d'où \phi_0 = Ax+B

    On sait que :

    \phi_0(x = 0) = 1 donc B = 1

    et \phi_{0,x}(x = L) = ik\phi_0(x =L) donc A = ik(AL + 1) donc A = {ik \over{1-ikL}}

    Ainsi, \phi_0(x) = {ik\over{1-ikL}} x + 1


    *'''Ordre 1'''
    \phi_{1,xx} + k^2\phi_0 = 0 \iff \phi_1 = -k^2\iint \phi_0 dx^2 + Ax + B

    Nos conditions aux limites sont toujours : \phi_0^1=0 \ et \ \phi^L_{1,x}=ik\phi^L_1 . Il vient : \phi_1= −k^2L{(k^2L^2+3ikL−3) \over {3(1−ikL)^2}}x−k^2({ik\over{6(1−ikL)}}x^3+ \dfrac {1} {2}x^2)

    *'''Ordre n'''
    On a : \forall n, \phi_{n,xx} + k^2\phi_{n-1} = 0

    Ainsi, \phi_n = -k^2\iint \phi_{n-1} dx^2 +A_nx +B . (B = 0 )

    Comme \phi_{n,x}^L = ik\phi_{n-1}^L, A_n = {1\over {1-ikL}}(k^2\int_0^L\phi_{n-1}dx^2 - ik^3\iint_0^L\phi_{n-1}dx^2)

    Finalement, on obtient :

    h(x,t) = \sum p^n\Re(\phi_ne^{-i\omega t})



    On peut visualiser l'évolution de la solution homotopique selon la valeur de p grâce au logiciel Maxima:

    [[File:GIF Cas 1 final (1).gif|400px]]


    Sur le graphique ci-dessus, la solution analytique est en rouge, la solution homotopique est représentée par la courbe verte. On illustre ici la variation du paramètre p, de 0 (solution en bleue) à 1 (où elle est la plus proche de la solution analytique). La méthode par homotopie permet bien de retrouver la solution analytique.

    == Cas n°2 : Canal plat fermé ==
    On étudie un canal similaire à celui du cas précédent, mais fermé en x=L. Cela se traduit par les conditions aux limites suivantes :

    \phi_x=ik(2-\phi) en x=0 et \phi_x = 0 en x=L
    ==== Solution analytique ====
    On cherche \phi sous la forme \phi = Ae^{-ikx}+Be^{ikx}, car il y a réflexion totale.

    Les conditions aux limites donnent respectivement B=1 et A = e^{2ikL}

    On a ainsi \phi = e^{ik(2L-x)}+e^{ikx}

    ==== Solution par homotopie ====
    L’équation homotopique à résoudre s’écrit : (1−p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 .
    La résolution est très similaire au cas 1, seules les conditions aux limites changent.
    ===== Ordre 0 =====
    Elle devient donc \phi_{0,xx}=0 \ soit \ \phi_0=Ax+B.
    A l’aide des conditions aux limites, on obtient \phi_0 = 2.
    ===== Ordre n =====
    A chaque ordre, on a \phi_n(x)=−k^2\int \phi_{n-1}(x)dx+A_nx+B_n
    On a les conditions aux limites suivantes : \phi_{n,x}^0=−ik\phi_{n,x}^0 \ et \ \phi_{n,x}^L=0
    Il advient alors A_n=(k^2 \iint \phi_{n-1}(x)dxdx)_{x=L} et B_n={i \over k}A_n.
    On programme ensuite la résolution par récurrence sur Maxima.

    == Cas n°3 : Canal en pente ==

    ===Résolution analytique===
    On s'intéresse à présent à un canal dont le fond est en pente. Le phénomène étudié est toujours unidimensionnel, avec les mêmes conditions aux limites que pour le cas n°1, soit:

    *En aval, onde de fréquence unitaire \phi=1 (condition de Dirichlet) et
    *En sortie libre amont \phi_x=ik\phi (condition de Robin).

    [[File:pente_canal.jpeg|400px]]

    Revenons à la modélisation de la houle par l'équation de Berkhoff:
    \nabla (CCg\Phi) + k^2.CCg\Phi=0

    Le terme CCg n'est pas constant et dépend à présent de la pente du fond du canal :CCg=g.H(x), avec H(x)=H_0-sx

    On obtient alors l'équation suivante:

    H(x)\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}-s\frac{\partial \Phi}{\partial x}+k^2H(x)\Phi=0 (1)


    Deux cas à examiner: k constant / k non constant.

    *'''Si k est constant''' (k=k_0), (1) devient H(x)\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}-s\frac{\partial \Phi}{\partial x}+k_0^2H(x)\Phi=0

    Par changement de variable (z=H(x)=H_0-sx), l'équation s'exprime finalement z\frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}-s\frac{\partial \Phi}{\partial z}+\frac{k_0}{s}^2z\Phi=0

    En posant \alpha ^2=(\frac{k_0}{s})^2, on obtient une équation de type Bessel: z\frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}-s\frac{\partial \Phi}{\partial z}+\alpha ^2 z\Phi=0

    *'''Avec k non constant''' (k=k_0\sqrt{\frac{H_0}{H(x)}}), (1) devient H(x)\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}-s\frac{\partial \Phi}{\partial x}+k_0^2H_0\Phi=0

    Alors, en effectuant le changement de variable z=H(x) (1) s'exprime

    z\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}+\frac{\partial \Phi}{\partial z}+(\frac{k_0}{s})^2 H_o\Phi=0

    En posant \alpha ^2=(\frac{k_0}{s})^2 H_0, on obtient une équation de type Bessel: z\frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}+\frac{\partial \Phi}{\partial z}+\alpha ^2 z\Phi=0

    La forme générale de la solution de ce type d'équation est: \Phi(z)=C_0.J_0(2\alpha\sqrt z)+C_1.Y_0(2\alpha \sqrt z), où

    *J_0 est une fonction de Bessel de première espèce (définie en 0),
    *Y_0 une fonction de Bessel de seconde espèce (non définie en 0)
    * C_0 et C_1 sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites.

    Afin de tirer parti des conditions aux limites du problème, exprimons la dérivée de \Phi:

    \Phi_z(z)=\frac{\alpha}{\sqrt z}C_0.J_1(2\alpha\sqrt z)-\frac{\alpha}{\sqrt z}C_1.Y_1(2\alpha \sqrt z)

    Les conditions aux limites de ce cas sont identique à celles du cas 1:

    \left\{
    \begin{array}{l}
    \Phi(x=0)=1 \\
    \Phi_x^L=i.k_L\Phi^L
    \end{array}
    \right.

    Comme z=H(x)=H_0-sx, on a -s\Phi=i.k_L\Phi et \frac{\partial \Phi}{\partial x}=-s\Phi_z=i.k_L\Phi

    Alors C_0 et C_1 sont solution du système:

    \left\{
    \begin{array}{l l}
    C_0.J_0(2\alpha\sqrt {H_0})+C_1Y_0(2\alpha\sqrt {H_0})=1 & (condition\ en\ x=0)\\
    C_0.J_1(2\alpha\sqrt {H_L})+C_1Y_1(2\alpha\sqrt {H_L})=i.C_0.J_0(2\alpha\sqrt {H_L})+C_1Y_0(2\alpha\sqrt {H_L}) & (condition\ en\ x=L)
    \end{array}
    \right.

    L'écriture de ce système se simplifie ainsi:

    \left\{
    \begin{array}{l l}
    C_0.J_0^0+C_1Y_0^0=1 & (condition\ en\ x=0)\\
    C_0.J_1^L+C_1Y_1^L=i.C_0.J_0^L+C_1Y_0^L & (condition\ en\ x=L)
    \end{array}
    \right.

    En posant D=J_0(Y_1^L-Y_0^L)-Y_0^0(J_1^L-i.J_0^L), on obtient les valeurs de C_0 et C_1 suivantes:


    \left\{
    \begin{array}{l }
    C_0=i*\frac{Y_1^L-Y_0^L}{D}\\
    \\
    C_1=\frac{-(J_1^L-i.J_0^L)}{D}
    \end{array}
    \right.







    Finalement, en remplaçant ces expressions de C_0 et C_1 dans l'expression de \Phi, on obtient:




    \Phi(x)=\frac{Y_1^L-Y_0^L}{J_0(Y_1^L-Y_0^L)-Y_0^0(J_1^L-i.J_0^L)}.J_0(2\alpha\sqrt{H_0-s*x} )+\frac{-(J_1^L-i.J_0^L)}{J_0(Y_1^L-Y_0^L)-Y_0^0(J_1^L-i.J_0^L)}.Y_0(2\alpha \sqrt{H_0-s*x})

    ===Résolution homotopique===
    La formulation générale de l'homotopie s'écrit (1-p)L(\Phi)+p[Equation]=0

    Dans le cas considéré, en choisissant la dérivée seconde comme opérateur linéaire, cela se traduit par:

    (1-p)\Phi_{xx}+p[(1-\epsilon x)\Phi_{xx}-\epsilon\Phi_x+k^2\Phi]=0\epsilon=\frac{s}{H_0}

    En écrivant la décomposition de \Phi:

    \Phi=\Phi_0+p.\Phi_1+p^2\Phi_2+...+p^n\Phi_n+...

    ...et ses dérivées successives:

    \Phi_{,z}=\Phi_{0,z}+p.\Phi_{1,z}+p^2\Phi_{2,z}+...+p^n\Phi_{n,z}+...

    ...que l'on remplace dans l'équation, on obtient l'expression suivante:



    \begin{array}{l l}
    &\Phi_{0,x}.p^0\\
    + &(\Phi_{1,xx} -\Phi_{0,xx}+ (1-\epsilon x)\Phi_{0,xx} -\epsilon\Phi_{0,x}+k_0^2 ).p^1\\
    +&...\\
    +&(\Phi_{n+1,xx} -\Phi_{n,xx}+ (1-\epsilon x)\Phi_{n,xx} -\epsilon\Phi_{n,x}+k_0^2 ).p^{n+1} \\
    =0 &
    \end{array}


    Tous les coefficients devant les puissances de p devant être nulles, on en déduit les différents ordres d'homotopie:
    ====Ordre 0====
    \Phi_{0,xx}=0 donc \Phi=A_0.x+B_0

    Puisque l'on a les mêmes conditions aux limites que dans le cas 1, on peut écrire:

    *'''En x=0''' \Phi_0(x=0)=1 <=> B=1
    *'''En x=L''' \Phi_0,x(x=L)=ik(x)\Phi_0(x=L) <=> A=\frac{ik(x)}{1–ik(x)L}




    Finalement, \Phi=\frac{ik(x)}{1–ik(x)L}*x+1

    ====Ordre 1====
    \Phi_{1,xx}-\epsilon(\Phi_{0,xx}+\Phi_{0,x}+k_0^2\Phi_0)=0
    Donc \Phi_1= \int \int ( \epsilon x\Phi_{0,xx}+\epsilon \Phi_{0,x}-k_0^2\Phi_0) \,dx\,dx +A_1x+B_1
    ====Ordre n====
    On généralise l'expression précédente et l'on obtient
    \Phi_{n+1,xx}-\epsilon(\Phi_{n,xx}+\Phi_{n,x}+k_0^2\Phi_n)=0
    \Phi_{n+1}= \int \int ( \epsilon x\Phi_{n,xx}+\epsilon \Phi_{n,x}-k_0^2\Phi_n) \,dx\,dx +A_n.x+B_n

    == Cas n°4 : Vague sphérique dans un domaine infini ==
    On étudie dans ce cas une surface dans un domaine de profondeur considérée comme infinie. Cette surface est agité par une onde originaire d'un cercle de rayon r_0. Le domaine est circulaire et l'onde sort librement en r=R. Cela se traduit par les conditions aux limites suivantes :

    [[File:schemaCas4.png|400px]]

    \phi^{r_0} = 1

    \phi_r^R = ik\phi

    En reprenant l'équation de Berhoff, que l'on exprime en coordonnées sphériques on obtient l'équation suivante:
    \Phi_{rr}+\frac{1}{r}\Phi_r+k^2\Phi=0 avec les conditions aux limites:

    *\Phi^{r_0}=1
    *\Phi_r^{R}=i*k*\Phi_R
    Il s'agit d'une équation de type Bessel
    ===Résolution analytique===
    La forme générale de la solution de ce type d'équation est:

    \Phi=A.J_0(r)+ B.Y_0(r)

    Les conditions aux limites permettent de déterminer A et B:
    * \Phi^{r_0}=1 <=> B=\frac{1-A.J_0(r_0)}{Y_0(r_0)}
    *\Phi_r^{R}=i*k*\Phi_R <=> A=\frac{Y_1(R)+i*k*Y_0(R)}{J_0(r_0)*Y_1(R)+i*k*J_0(r_0)Y_0(R)-J_1(R)Y_0(r_0)-i*k*J_0(R)Y_0(r_0)}


    Finalement, \Phi=\frac{Y_1(R)+i*k*Y_0(R)}{J_0(r_0)*Y_1(R)+i*k*J_0(r_0)Y_0(R)-J_1(R)Y_0(r_0)-i*k*J_0(R)Y_0(r_0)}.J_0(r)+ \frac{1-\frac{Y_1(R)+i*k*Y_0(R)}{J_0(r_0)*Y_1(R)+i*k*J_0(r_0)Y_0(R)-J_1(R)Y_0(r_0)-i*k*J_0(R)Y_0(r_0)}.J_0(r_0)}{Y_0(r_0)}.Y_0(r)


    ===Résolution par homotopie===

    *Résolution homotopique
    Dans le cas de coordonnées sphérique, l'équation utilisée pour la résolution par homotopie (pour la méthode HAM) s'écrit :
    (1−p) \Phi_{rr}+p∗(\Phi_{rr}+\frac{1}{r}\Phi_r+k^2Φ) =0
    De la même manière que pour le cas 3, on décompose \Phi et ses dérivées en série entière. En les remplaçant dans l'équation, on aboutit à l'expression des différents ordres d'homotopie :
    ====Ordre 0====
    On a : \phi_{0,rr} = 0 donc \phi_0 = Ar+B
    Les conditions aux limites donnent : \phi_0 = \frac {{ik} {1+ik(r0 – R)} r + 1 – frac{{ikr0} {1+ik(r0 – R)}

    ====Ordre n====
    On cherche une relation de récurrence entre \Phi_n et \Phi_{n-1}.
    L’équation de l’homotopie donne :
    \phi_{n,rr} + \frac {1}{r} \phi_{n-1,r} + k^2\phi_{n-1} = 0
    On a ainsi : \phi_n = - \iint {1 \over r} \phi_{n-1,r} dr^2 – k^2 \iint \phi_{n-1} dr^2 + A_n r + B_n
    On détermine les constantes.
    \phi_n^{r0} = ik \phi _n^R donne B_n = (\iint \frac {1} {r} \phi_{n-1,r} dr^2)_{r = r0}
    + k^2 (\iint \phi_{n-1}dr^2)_{r = r0} – A_nr0


    \phi_{n,r}^R = ik\phi_n^R donne

    A_n = \frac{1} {1 + ik(r0 – R)} (\int \frac {1} {r} \phi_{n-1,r}dr + k^2\int \phi_{n-1}dr)_{r = R} + ik (\iint {1 \over r} \phi_{n-1,r}dr^2 + k^2\iint \phi_{n-1}dr^2)_{r = r0} – ik (\iint \frac {1} {r} \phi_{n-1,r}dr^2 + k^2\iint \phi_{n-1}dr^2)_{r = R}

    Finalement, \phi_n = - \iint {1 \over r} \phi_{n-1,r} dr^2 – k^2 \iint \phi_{n-1} dr^2 + A_n r + B_n




    Nous n’avons pas pu aboutir à une animation satisfaisante, pour deux raisons, la principale étant probablement un problème d’expression qui nous a échappé. Ci-dessous, le résultat que nous obtenons. On constate que la solution homotopique ne correspond pas à la solution analytique, même à l’entrée du domaine.

    == Analyse de sensibilité ==
    *Cas n°2
    {| class="wikitable"
    |-
    ! k=0.1!! k=0.5!! k=1
    |-
    | [[File:Cas2sens_k01.png|400px]]|| [[File:Cas2sens_kL05.png|400px]]|| [[File:Cas2sens_kL1.png|400px]]
    |}
    Pour avoir un résultat cohérent il faut obligatoirement avoir kL<1. De plus, plus kL est petit, plus on constate que les solutions analytiques et homotopiques convergent
    *Cas n°3
    {| class="wikitable"
    |-
    ! k=0.1!! k=0.5!! k=1
    |-
    | [[File:Cas3sens_k01_Ordre5.png|400px]] || [[File:Cas3sens_k1_Ordre5.png|400px]] ||[[File:Cas3sens_k05_Ordre5.png|400px]]
    |}
    On arrive donc aux même conclusions que dans le cas 2, à savoir qu’il faut avoir kL<1, et le plus petit possible.

  • Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/BENSAC - ECORSE - FLANDRIN

    Jean-Michel Tanguy : /* Solution semi-analytique par homotopie */


    Pour retourner à la page énoncé du sujet : [[Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022]]


    == '''Contextualisation''' ''Les enjeux climatiques'' ==

    [[Fichier: avant.jpg|300px|gauche]] [[Fichier: après.jpg|300px|droite]]

    Dans la [[wikipedia:fr: Sixième rapport d'évaluation du GIEC #Contribution du groupe de travail II, "Impacts, adaptation et vulnérabilité"| deuxième partie de son rapport]] publié le 28 février 2022, le [[GIEC (HU) | GIEC]] alertait que le réchauffement climatique allait entrainer la plus rapide montée des eaux depuis 3000 ans. Cette montée menace de modifier profondément [[Le trait de côte | le trait de côte]] de nombreux pays, pouvant entrainer le déplacement de nombreuses populations, ainsi que la destruction d’ouvrages et d’habitations. La France est d'ailleurs l’un des pays européens les plus menacés par les inondations côtières et par cette augmentation du niveau des océans.

    Ainsi, nous allons étudier et modéliser les effets de la houle sur le littoral avec la montée des eaux et afin de répondre aux besoins de prévoir dans les décennies qui viennent les modifications du trait de côte et les destructions possibles.

    Le modèle qui va nous permettre de réaliser la modélisation de la houle est le modèle de Berkhoff qui est constitué d’une équation aux dérivées partielles. Nous étudierons différents cas, que nous résoudrons par une méthode analytique puis par homotopie.

    =='''Modélisation'''==

    === Le modèle de Berkhoff ===

    La modélisation de la houle est réalisée le plus souvent grâce au modèle de Berkhoff, qui est le premier auteur à établir, dans la théorie potentielle linéaire, une équation de propagation de la houle couplant les effets de la diffraction Processus par lequel l'énergie des vagues est transmise, rayonnée et dissipée lorsque la vague contourne un obstacle tel qu'une île ou un brise-lames pour se propager dans la région abritée. et de la réfraction induits par les variations topographiques. Ce modèle est également appelé [[wikipedia : Mild-slope equation | équation de pente douce]], car il fonctionne sous l’hypothèse de houles de faibles amplitudes et sous l’approximation mild-slope (ce qui signifie qu’on considère que les fonds marins sont en pente douce).

    En bi-dimensionnel, il a pour équation : \boxed{\displaystyle\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0}

    où :

    - \phi est le potentiel,

    - k est le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence \omega , par la relation implicite \omega^2=gk \tanh(kH) ,

    - C est la célérité de l’onde,

    - C_g est la célérité de groupe des vagues.

    L'équation de pente douce est souvent utilisée dans l'ingénierie côtière pour calculer les changements de champ de vagues près des ports et des côtes. Certaines études portent sur sa réécriture pour simplifier sa résolution numérique. Nous choisirons la méthode d’homotopie pour résoudre cette équation.

    === Le principe de l'homotopie ===

    L'[[wikipedia : Homotopie | homotopie]] est un « chemin » qui permet de passer d'une solution connue simple à une solution complète, au moyen d'un paramètre p variant entre 0 et 1. Le dit « chemin » est alors une déformation continue entre la première estimation de la solution simple (lorsque p = 0) et la solution complète (lorsque p=1) du système d'équations à résoudre.

    === Hypothèses de calcul ===

    Pour simplifier le problème, nous nous intéresserons à la houle longue (dont la longueur d'onde est supérieure à 300 m). Sous cette hypothèse, on peut faire l'approximation que : C=C_g=\sqrt{gH} .

    Lorsque H = constante , l'équation de Berkhoff est simplifiée comme suit :
    \boxed{\displaystyle\Delta \phi+k^2\phi=0}


    L'évolution dans le temps de la hauteur de houle est donnée par : h(x,t)=\Re \left (\phi e^{-i\omega t} \right ) .

    Remarque générale : on traite le cas de la houle, donc l'entrée est située en aval, et la sortie en amont.

    == '''1er cas''' ''Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont'' ==

    La première géométrie étudiée est celle d'un canal monodimensionnel plat. On lui affecte une longueur L.

    On modélise à son entrée, par l'aval, une onde de fréquence unitaire \phi = 1 ([[wikipedia : Conditions aux limites de Dirichlet |condition aux limites de Dirichlet]]), et une sortie libre en amont \phi_{x} =ik\phi ([[wikipedia : Conditions aux limites de Robin |condition aux limites de Robin]]).

    Par soucis de facilité, on impose ces deux conditions uniquement en x = 0 . Il est possible de démontrer que cette situation est équivalente au cas où ces deux conditions sont appliquées aux deux extrémités du domaine, à savoir en x = 0 et en x = L .


    ''Simplification de l'équation de Berkhoff :''


    Dans cette situation, l'équation de Berkhoff simplifée peut être écrite, en domaine unidimensionnel :

    \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0}



    === Solution analytique ===

    On peut réécrire l’équation \displaystyle \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi = 0
    sous sa forme caractéristique : X^{2} + k^{2} = 0 .

    En résolvant cette équation du second degré, on trouve que son discriminant \Delta = -4k^{2} est négatif. L'équation caractéristique admet donc deux racines complexes, qui sont X_{1} = - ik et X_{2} = ik .

    La solution générale est de la forme : \phi(x) = \alpha \, \exp^{X_{1}x} + \beta \, \exp^{X_{2}x} .


    On détermine les inconnues \alpha et \beta à l’aide des conditions aux limites énoncées précédemment :
    \left\{ \begin{align}
    \bullet &\text{En aval :} &\phi(x=0) & = 1 \quad &\Longrightarrow& \quad \alpha+\beta = 1 \\
    \bullet &\text{En amont :} &\dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L) & = ik \, \phi(x = L) \quad &\Longrightarrow &\quad \alpha = 0 \quad \text{et} \quad \beta=1 \\
    \end{align} \right.

    === Solution semi-analytique par homotopie ===


    ==== Hypothèses et conditions limites ====

    Soit p\in{[0,1]} un paramètre qui varie de 0 à 1.


    En choisissant la dérivée seconde comme opérateur linéaire, la relation d'homotopie (avec p \in [0 \, ; 1] ) s'écrit :
    (1-p)(\phi_{xx}-u_{0,xx}) + p(\phi_{xx} + k^2\phi) = 0



    On rappelle que : \left\{ \begin{align}
    & \phi(x,p) = \sum_{n=0}^\infty p^n\phi_{n} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi(x,p) = \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_2(x) + p^3\phi_3(x) + \cdots) \\
    & \dfrac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2}(x,p)= \phi_{xx}(x,p) = \sum_{n=0}^\infty p^n\phi_{n,xx} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi_{xx}(x,p) = \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + \cdots) \\
    \end{align} \right.


    On part d'une solution initiale ( p = 0 ) nulle : u_{0} = 0. La solution complète est obtenue lorsque p = 1 .


    La relation d'homotopie se simplifie alors comme suit :

    \phi_{xx} + pk^2\phi = 0


    ==== Résolution aux différents ordres ====

    La relation d’homotopie simplifiée ci-dessus peut-être développée de la manière suivante :


    \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + \cdots = -k^2(p\phi_0(x) + p^2\phi_1(x) + p^3\phi_2(x) + p^4\phi_3(x) + \cdots)



    La résolution de cette équation est alors celle du système linéaire suivant, par liberté de la famille (1,p,p^2,p^3,\cdots) :


    \left\{
    \begin{eqnarray}
    \phi_{0,xx}(x) & = & 0 &&&(1.1)\\
    \phi_{1,xx}(x) & = & -k^2 \phi_0(x) &&&(1.2)\\
    \phi_{2,xx}(x) & = & -k^2 \phi_1(x) &&&(1.3)\\
    \phi_{3,xx}(x) & = & -k^2 \phi_2(x) &&&(1.4)\\
    &.& \\
    &.& \\
    &.& \\
    \end{eqnarray}
    \right.


    On s’intéresse maintenant aux différents ordres de p :
    {| class="wikitable"
    |-
    ! rowspan="2" | Ordres
    ! rowspan="2" | Equation
    ! colspan="2" style="text-align: center;" | Conditions aux limites
    |-
    ! scope=col | En x = 0
    ! scope=col | En x = L
    |-
    ! 0
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (1.1) :

    \begin{align}
    \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_0}{\partial x^{2}} = 0 && \iff && \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = \alpha_1 \\
    && \iff && \phi_{0}(x) = \alpha_1 x + \beta_1
    \end{align}

    | \begin{align} \phi_0(0) = 1 \qquad \quad & \Longrightarrow & \beta_1 = 1 \quad \\
    \left. \begin{eqnarray}
    \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = ik\phi_0 \\
    \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = \alpha_1 \end{eqnarray} \right\} \quad & \Longrightarrow & \alpha_1 = ik\phi_0 \\
    \end{align}
    | \begin{align} & \text{On a :} & \alpha_1 = ik\phi_0 \quad \text{et} \quad \beta_1 = 1 \\
    & \text{Or :} & \phi(x = L) = \alpha_1 L + \beta_1 \quad & \Longrightarrow & \; \alpha_1 = \frac{ik}{1-ikL} \qquad \\
    \end{align}

    Ainsi :

    \boxed{\displaystyle \phi_{0}(x) = 1 - \frac{kx}{2} + \frac{ikx}{2}}

    |-
    ! 1
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (1.2) :

    \begin{align} \phi_{1,xx} = \frac{\partial^2\phi_{1}}{\partial x^2} = -k^2\phi_0 & \iff& \frac{\partial\phi_{1}}{\partial x} = -k^2 \int \phi_{0}.dx + \alpha_1' \\
    & \iff& \phi_{1} = - k^2\iint \phi_{0}.dxdx + \alpha_1' x + \beta_1' \\
    \end{align}


    Or : \qquad \iint \phi_{0}.dxdx = \frac{x^2}{2} + \frac{ikx^3}{6(1 - ikL)}

    Donc :

    \phi_{1}(x) = -k^2 \left( \frac{x^2}{2} + \frac{ikx^3}{6(1 - ikL)} \right) + \alpha_1' x + \beta_1'

    |
    \phi_{1}(x = 0) = \beta_1' = 0

    | On a : \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{\partial \phi_{1}(L)}{\partial x} = ik\phi(L)

    C'est-à-dire :

    -k^2 \left(\frac{ikL^2}{2(1-ikL)}+L\right) + \alpha_1' = ik \left(-k^2 \left(\frac{ikL^3}{6(1-ikL)} + \frac{L^2}{2} \right) + \alpha_1'L \right)


    \Longrightarrow \qquad \alpha_1' = \frac{k}{2} - \frac{ik}{3}


    Ainsi :

    \boxed{\displaystyle \phi_{1}(x) = -k^2 \left( \frac{x^2}{2} + \frac{ikx^3}{6(1 - ikL)} \right) + \left( \frac{k}{2} - \frac{ik}{3} \right) x}

    |}

    On continue jusqu’à l’ordre n.

    On peut représenter les courbes de la solution par homotopie des \phi aux différents ordres de p par rapport à la solution analytique.

    Voici la représentation pour les premiers ordres :

    [[Fichier:cas1 bis.gif|500px|centré]]

    == '''2e cas''' ''Canal monodimensionnel plat avec réflexion totale en amont'' ==

    On étudie maintenant le cas d'un canal monodimensionnel plat de longueur L, cette fois avec réflexion totale en amont.

    On modélise, en aval, un flux \phi_{x} = ik(2-\phi) , et la réflexion totale en amont \phi_{x} = 0 .


    ''Simplification de l'équation de Berkhoff :''

    Dans cette situation, l'équation de Berkhoff prend la même expression que dans le 1er cas :

    \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0}


    === Solution analytique ===

    On reprend l'exact même raisonnement qu'au 1er cas, pour trouver la forme de la solution générale : \phi(x) = \alpha \, \exp^{-ikx} + \beta \, \exp^{ikx} . On détermine les inconnues \alpha et \beta à l’aide des nouvelles conditions aux limites :
    \left\{ \begin{align}
    \bullet &\text{En aval :} & \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(0) = ik(2- \phi(0)) & \iff & -ik \, \alpha + ik \, \beta = ik(2- (\alpha+\beta)) \quad \quad & \Longrightarrow & &\beta = 1 \\
    \bullet &\text{Réflexion totale en amont :} & \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(L)=0 & \iff & \quad -ik\, \alpha \, e^{-ikL}+ik \, \beta \, e^{ikL} = 0 \quad & \Longrightarrow & &\alpha = e^{2ikL} \\
    \end{align} \right.

    === Solution semi-analytique par homotopie ===

    On utilise le même raisonnement qu'au 1er cas.

    Il convient d'étudier plus en détail la relation (vraie pour x = 0 ) : \dfrac{\partial ϕ}{\partial x} = ik(2- \phi) .

    On rappelle que : \left\{ \begin{align}
    & \phi(x,p) = \sum_{n=0}^\infty p^n\phi_{n} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi(x,p) = \phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_2(x) + p^3\phi_3(x) + \cdots) \\
    & \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x,p)= \phi_{x}(x,p) = \sum_{n=0}^\infty p^n\phi_{n,x} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi_{x}(x,p) = \phi_{0,x}(x) + p\phi_{1,x}(x) + p^2\phi_{2,x}(x) + p^3\phi_{3,x}(x) + \cdots) \\
    \end{align} \right.

    Ainsi (lorsque x = 0 ) : \quad \phi_{0,x}(x) + p\phi_{1,x}(x) + p^2\phi_{2,x}(x) + \cdots = 2ik - ik(\phi_0(x) + p\phi_1(x) + p^2\phi_2(x) + \cdots) \quad \iff \quad \left\{
    \begin{eqnarray}
    \phi_{0,x}(x) & = & ik(2-\phi_0(x)) &&&(2.1)\\
    \phi_{1,x}(x) & = & -ik\phi_1(x) &&&(2.2)\\
    \phi_{2,x}(x) & = & -ik\phi_2(x) &&&(2.3)\\
    &.& \\
    &.& \\
    &.& \\
    \end{eqnarray}
    \right.

    On s’intéresse maintenant aux différents ordres de p. Il est possible de déterminer facilement à la main les expressions des solutions semi-analytiques pour les deux premiers ordres.

    {| class="wikitable"
    |+ Résolution semi-analytique des deux premiers ordres
    |-
    ! rowspan="2" | Ordres
    ! rowspan="2" | Equation
    ! colspan="2" style="text-align: center;" | Conditions aux limites
    |-
    ! scope=col | En x = L
    ! scope=col | En x = 0
    |-
    ! 0
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (1.1) :

    \begin{align}
    \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 && \iff && \frac{\partial\phi}{\partial x} = \alpha_2 \\
    && \iff && \phi_{0}(x) = \alpha_2 x + \beta_2
    \end{align}

    |
    \begin{align} \frac{\partial\phi_0(L)}{\partial x} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha_2 = 0 \end{align}

    |
    \begin{align} \frac{\partial\phi_0(0)}{\partial x} = ik(2- \phi_0(0)) \quad & \iff & \quad &0 = ik(2-\beta_2) \\
    & \iff & &\beta_2 = 2 \\
    \end{align}


    D'où :
    \boxed{\displaystyle \phi_0(x) = 2}

    |-
    ! 1
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (1.2) :

    \begin{align} \phi_{1,xx} = \frac{\partial^2\phi_{1}}{\partial x^2} = -k^2\phi_0 && \iff && \frac{\partial\phi_{1}}{\partial x} = -k^2 \int \phi_{0}.dx + \alpha_2' \\
    && \iff && \phi_{1} = - k^2\iint \phi_{0}.dxdx + \alpha_2' x + \beta_2' \end{align}


    Or : \qquad \qquad \qquad \iint \phi_{0}.dxdx = x^2

    Donc :

    \phi_{1}(x) = -k^2 x^2 + \alpha_2' x + \beta_2'

    |
    \begin{align} \frac{\partial\phi_1(L)}{\partial x} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha_2' = 2k^2L \\
    \end{align}

    | \begin{align} \text{On utilise l'equation } (2.2) : \qquad \quad
    & \frac{\partial\phi_1(0)}{\partial x} = ik\phi_1(0) \\
    \iff & \quad 2k^2 L = ik\beta_2' \\
    \iff & \quad \beta_2' = -2ikL \\
    \end{align}

    D'où :
    \boxed{\displaystyle \phi_1(x) = -k^2 x^2 +2k^2 Lx -2ikL}

    |}

    Voici la représentation sur Maxima pour les premiers ordres :

    [[Fichier:cas2 bis.gif|500px|centré]]

    == '''3e cas''' ''Canal monodimensionnel de pente constante avec sortie libre en amont'' ==

    On étudie maintenant le cas d'un canal monodimensionnel de longueur L, dont la pente de fond est constante égale à s .

    On modélise à son entrée, par l'aval, une onde de fréquence unitaire \phi = 1 ([[wikipedia : Conditions aux limites de Dirichlet |condition aux limites de Dirichlet]]), et une sortie libre en amont \phi_{x} =ik\phi ([[wikipedia : Conditions aux limites de Robin |condition aux limites de Robin]]).


    ''Simplification de l'équation de Berkhoff :''


    Dans cette situation, la profondeur du canal H n'est pas une constante : H = H(x) . On conserve l'hypothèse C = C_g = \sqrt{gH} . Pour simplifier l'équation de Berkhoff, il est nécessaire de repartir de son expression initiale :

    \begin{align}
    & \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 \\
    \iff & \nabla.(gH(x)\, \nabla \phi) + k^2 gH(x)\phi = 0 \end{align}



    Finalement, l'équation de Berkhoff dans ce cas s'écrit :

    \boxed{\displaystyle H \frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} + \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partialϕ}{\partial x} + k^2 Hϕ = 0}




    ''Hypothèses :''


    On prendra H(x) = H_0 - sx , où H_0 est la hauteur à l'origine, et s représente la pente.

    On considère également que k = k_0 \sqrt{\frac{H_0}{H(x)}}

    === Solution analytique ===



    En effectuant le changement de variable z(x) = H_0 - sx , l’équation prend la forme :

    \displaystyle z(x) \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} – s \frac{\partial \phi}{\partial x}+ H_0 k_0^2 \phi = 0



    Afin de résoudre cette équation, on la simplifie en suivant les étapes ci-dessous :


    \begin{align}
    & z(x) \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} – s \frac{\partial \phi}{\partial x}+ H_0 k_0^2 \phi = 0 \\
    \iff & z(x) \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}) -s \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}+ H_0 k_0^2 \phi = 0 \\
    \iff & -s z(x) \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial \phi}{\partial z}) + s^2 \frac{\partial \phi}{\partial z}+ H_0 k_0^2 \phi = 0 \\
    \end{align}




    \displaystyle \begin{align}
    \text{En posant } F = \frac{\partial \phi}{\partial z}\text{, on trouve :} \qquad & s^2 \frac{\partial \phi}{\partial z} -s z(x) \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial x} + H_0 k_0^2 \phi = 0 \\
    \iff & z(x) \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{H_0 k_0^2}{s^2} \phi= 0 \\
    \end{align}



    En posant \displaystyle \alpha^2 = \frac{k_0^2 H_0}{s^2} , on retrouve une [[wikipedia : Fonction de Bessel | équation de Bessel]] :
    \displaystyle z(x) \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \alpha^2 \phi = 0



    La solution de cette équation est alors \displaystyle \phi(z) = B J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + C Y_0 (2 \alpha \sqrt{z}) , où : \left\{
    \begin{align}

    & J_0 \text{ est une fonction de Bessel de 1ère espèce à l’ordre 0} \\
    & Y_0 \text{ est une fonction de Bessel de 2ème espèce à l'ordre 0} \\
    & B \text{ et } C \text{ sont des constantes à déterminer à l'aide des conditions limites} \\
    \end{align} \right. .



    '' Conditions aux limites : ''

    \left\{ \begin{align}
    & \bullet \; \phi(0) = 1 \\
    & \bullet \; \phi_{x}(x=L) = ik\phi(x=L) \\
    \end{align} \right.



    Avec les conditions limites, on obtient :


    BJ_{0}(2\alpha \sqrt H_{0}) + CY_{0}(2\alpha \sqrt H_{0}) = 1



    et :


    BJ_{1}(2\alpha \sqrt H_{1}) + CY_{1}(2\alpha \sqrt H_{1}) = i(BJ_{0}(2\alpha \sqrt H_{1}) + CY_{0}(2\alpha \sqrt H_{1}))




    Ce qui revient à dire que :


    B = \frac{(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}


    et :

    C = \frac{- (J_{1}^{2} - iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}


    === Solution semi-analytique par homotopie ===

    ''Dans ce cas précis pour un souci de réalisme, il faut veiller à ce que la hauteur de la houle ne soit pas supérieure à celle de la profondeur en eau.''

    ''La programmation de cette solution dans ce cas se fera selon le modèle de Bessel.''

    ''Nous prenons de manière arbitraire la valeur s =\frac{1}{200} de la pente du fond pour la superposition des solutions analytique et par homotopie dans l’animation temporelle.''



    On part de l'équation : H(x) \phi_{xx}(x) + H'(x) \phi_{x}(x) + k^2 H(x) \phi(x) = 0 .


    Sachant que H(x) = H_0 - sx et k = k_0 \sqrt{\frac{H_0}{H(x)}} , la relation d'homotopie est la suivante :

    (1-p)(\phi_{xx} - u_{0,xx}) + p[(H_0 - sx)\phi_{xx} - s\phi_{x} + k_0^2 H_0 \phi] =0



    En prenant u_0 = 0 pour simplifier les calculs, on obtient :

    (1-p)\phi_{xx} + p((H_0 - sx) \phi_{xx} - s\phi_{x} + k_0^2 H_0 \phi) =0




    La solution d'homotopie peut alors être transformée comme suit :

    \phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx} + \cdots = - p[(H_0 -sx -1)\phi_{0,xx} - s\phi_{0,x} + k_0^2 H_0 \phi_0] - p^2[(H_0 -sx -1)\phi_{1,xx} - s\phi_{1,x} + k_0^2 H_0 \phi_1] - \cdots



    La résolution de cette équation est alors celle du système linéaire suivant, par liberté de la famille (1,p,p^2,p^3, \cdots) :

    \left\{
    \begin{eqnarray}
    \phi_{0,xx}(x) & = & 0 &&&(3.1)\\
    \phi_{1,xx}(x) & = & s\phi_{0,x} - (H_0 -sx - 1) \phi_{0,xx}-k_0^2 H_0 \phi_0(x) &&&(3.2)\\
    \phi_{2,xx}(x) & = & s\phi_{1,x} - (H_0 -sx - 1) \phi_{1,xx}-k_0^2 H_0 \phi_1(x) &&&(3.3)\\
    &.& \\
    &.& \\
    &.& \\
    \end{eqnarray}
    \right.



    {| class="wikitable"
    |-
    ! rowspan="2" | Ordres
    ! rowspan="2" | Equation
    ! colspan="2" style="text-align: center;" | Conditions aux limites
    |-
    ! scope=col | En x = 0
    ! scope=col | En x = L
    |-
    ! 0
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (3.1) :

    \begin{align}
    \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_0}{\partial x^{2}} = 0 && \iff && \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = \alpha_3 \\
    && \iff && \phi_{0}(x) = \alpha_{3} x + \beta_3
    \end{align}

    | \begin{align} \phi_0(0) = 1 \qquad \quad & \Longrightarrow & \beta_3 = 1 \quad \\
    \left. \begin{eqnarray}
    \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = ik\phi_0 \\
    \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = \alpha_3 \end{eqnarray} \right\} \quad & \Longrightarrow & \alpha_3 = ik\phi_0 \\
    \end{align}
    | \begin{align} & \text{On a :} & \alpha_3 = ik\phi_0 \quad \text{et} \quad \beta_3 = 1 \\
    & \text{Or :} & \frac{\partial \phi_0}{\partial x}(x = L) = ik(\alpha_3 L + \beta_3) \quad & \Longrightarrow & \; \alpha_3 = \frac{ik}{1-ikL} \qquad \\
    \end{align}

    Ainsi :

    \boxed{\displaystyle \phi_{0}(x) = \frac{ik}{1 - ikL}x + 1}

    |-
    ! 1
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (3.2) :

    \displaystyle \begin{align}
    & \frac{\partial^2 \phi_1}{\partial x^2} = s\frac{\partial \phi_0}{\partial x} - (H_0 -sx - 1) \frac{\partial^2 \phi_0}{\partial x^2}-k_0^2 H_0 \phi_0 \\
    \iff & \frac{\partial \phi_1}{\partial x} = - (H_0 -sx - 1) \frac{\partial \phi_0}{\partial x}-k_0^2 H_0 \int \phi_0 .dx + \alpha_3' \\
    \iff & \phi_1 = - s \int \phi_0.dx - (H_0 -sx - 1) \phi_0 -k_0^2 H_0 \iint \phi_0 .dxdx + \alpha_3'x + \beta_3' \\
    \end{align}


    Or : \left\{ \begin{align}
    & \phi_{0} = \frac{ik}{1 - ikL}x +1 \\
    & \int \phi_0 .dx = \frac{ik}{2(1-ikL)}x^2 + x \\
    & \iint \phi_0.dxdx = \frac{ik}{6(1-ikL)}x^3 + \frac{x^2}{2} \\
    \end{align} \right.



    D'où :

    \begin{align}
    \phi_1(x) = & - s \left( \frac{ikx^2}{2(1-ikL)} + x \right) - (H_0 -sx - 1) \left( \frac{ikx}{1 - ikL} + 1 \right) \\
    & - k_0^2 H_0 \left( \frac{ikx^3}{6(1-ikL)} + \frac{x^2}{2} \right) + \alpha_3'x + \beta_3' \end{align}

    |
    \begin{align}
    & \phi_{1}(0) = 1 \\
    \iff & - (H_0 - 1) + \beta_3' = 1 \\
    \iff & \beta_3' = H_0 \\ \end{align}

    |
    |}

    == '''4e cas''' ''Vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale'' ==

    On étudie désormais l'évolution de la surface libre d’une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale, dans un domaine infini en grande profondeur. La source ponctuelle est appliquée autour d'un cercle de rayon r_{0} centré sur un domaine circulaire de rayon R qui laisse sortir librement cette onde en r = R .


    On modélise, en aval, une onde \phi = 1 , et en amont, une onde \phi_x = ik\phi .




    ''Simplification de l'équation de Berkhoff :''


    Dans ce cas, l'équation de Berkhoff se transforme en [[wikipedia : Équation de Helmholtz |équation de Helmholtz]] : \displaystyle \Delta \phi(r) + k^2\phi(r)=0 .


    Etant donné que le problème est caractérisé par une symétrie de révolution (il est indépendant de \theta ), la relation ci-dessus s'écrit, en coordonnées polaires :

    \boxed{\displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2 \phi = 0}


    === Solution analytique ===

    L'équation précédente étant une équation de Bessel, on utilise à nouveau la méthode de résolution du cas précédent, et on peut écrire :


    \phi(r)= \alpha J_{0}(r)+\beta Y_{0}(r)


    avec :
    \left\{ \begin{align}
    & J_0 \text{ est une fonction de Bessel de 1ère espèce à l’ordre 0} \\
    & Y_0 \text{ est une fonction de Bessel de 2ème espèce à l'ordre 0} \\
    & \alpha \text{ et } \beta \text{ sont des constantes à déterminer à l'aide des conditions limites} \\
    \end{align} \right. .



    On doit alors résoudre :

    \phi_{rr}+\dfrac{1}{r}\phi_r + k^2\phi=0


    Avec les conditions initiales suivantes :

    \left\{ \begin{align}
    & \bullet \; \phi^{ r = r_{0}} = 1 \\
    & \bullet \; \phi_r^{r=R} = ik\phi^{r=R} \\
    \end{align} \right.

    On peut alors déterminer les constantes \; \alpha \; et \; \beta telles que :
    \left\{ \begin{align}
    & \alpha J_{0}(r_{0})+\beta Y_{0}(r_{0}) = 1 \\
    & \alpha J_0'(R)+\beta Y_0'(R)=ik\ (\alpha J_{0}(R)+\beta Y_{0}(R)) \\
    \end{align} \right.


    Or on sait que :
    \left\{ \begin{align}
    & \displaystyle\frac{\partial r^nJ_n(r)}{\partial r} = r^nJ_{n-1}(r) \\
    & J_{-1}(r) = -J_1(r) \\
    \end{align} \right.

    On trouve alors :

    \alpha = \displaystyle\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}

    et :

    \beta = \displaystyle\frac{1 }{Y_0(r_0)} \left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)


    D'où : \displaystyle\phi(r)=\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}J_0(r)+\frac{1}{Y_0(r_0)}\left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)Y_0(r)

    === Solution semi-analytique par homotopie ===
    ''Les hypothèses appliquées :''
    On choisira les valeurs numériques suivantes:

    \bullet r_{0} = 1 m
    \bullet R = 100 m
    \bullet k = 0.1 m^{-1}

    Les résultats sont affichés suivant un rayon de r_{0} à R :

    # le premier graphique superpose la solution analytique avec la solution par homotopie
    # le second consiste en une application temporelle avec une fréquence de \omega=\sqrt{gk} car nous sommes en profondeur infiniée.
    # on produira également une animation 2D si possible

    La relation d'homotopie s'écrit de la manière suivante :

    (1-p)(\phi_{rr} - u_{0,rr}) + p \left( \phi_{rr} + \frac{1}{r} \phi_{r} + k^2 \phi \right) =0



    En prenant u_0 = 0 pour simplifier les calculs, on obtient :

    \phi_{rr} + p \left( \frac{1}{r} \phi_{r} + k^2 \phi \right) =0




    La solution d'homotopie peut alors être transformée comme suit :

    \phi_{0,rr} + p\phi_{1,rr} + p^2 \phi_{2,rr} + \cdots = - p(\frac{1}{r} \phi_{0,r} + k^2 \phi_0) - p^2 (\frac{1}{r} \phi_{1,r} + k^2 \phi_1) - p^3 (\frac{1}{r} \phi_{2,r} + k^2 \phi_2) - \cdots



    La résolution de cette équation est alors celle du système linéaire suivant, par liberté de la famille (1,p,p^2,p^3, \cdots) :

    \left\{
    \begin{eqnarray}
    \phi_{0,rr}(r) & = & 0 &&&(4.1)\\
    \phi_{1,rr}(r) & = & -\frac{1}{r} \phi_{0,r}(r) - k^2 \phi_0(r) &&&(4.2)\\
    \phi_{2,rr}(r) & = & -\frac{1}{r} \phi_{1,r}(r) - k^2 \phi_1(r) &&&(4.3)\\
    &.& \\
    &.& \\
    &.& \\
    \end{eqnarray}
    \right.




    {| class="wikitable"
    |-
    ! rowspan="2" | Ordres
    ! rowspan="2" | Equation
    ! colspan="2" style="text-align: center;" | Conditions aux limites
    |-
    ! scope=col | En r = r_0
    ! scope=col | En r = R
    |-
    ! 0
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (4.1) :

    \begin{align}
    \phi_{0,rr} = \frac{\partial^{2}\phi_0}{\partial r^{2}} = 0 && \iff && \frac{\partial\phi_0}{\partial r} = \alpha_4 \quad & (*) \\
    && \iff && \phi_{0}(r) = \alpha_{4} r + \beta_4 & (**) \\
    \end{align}

    |
    \begin{align} \phi_0(r_0) = 1 \qquad \quad & \iff & \alpha_{4} r_0 + \beta_4 = 1 \quad \\
    & \iff & \beta_4 = 1 - \alpha_4 r_0 \\
    \end{align}

    |On a : \left\{ \begin{eqnarray}
    \frac{\partial\phi_0}{\partial r}(R) = ik\phi_0(R) \\
    \frac{\partial\phi_0}{\partial r} = \alpha_4 \end{eqnarray} \right. \iff \alpha_4 = ik(\alpha_4 R + \beta_4)
    Or : \quad \beta_4 = 1 - \alpha_4 r_0 \quad d'où :

    \left\{ \begin{eqnarray}
    \alpha_4 = \frac{ik}{1+ ik(r_0 - R)} \\
    \beta_4 = \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)} \end{eqnarray} \right.


    Ainsi :

    \boxed{\displaystyle \phi_{0}(r) = \frac{ik}{1+ ik(r_0 - R)}r + \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}}

    |-
    ! 1
    | style="vertical-align:center" |On utilise l'équation (4.2) :

    \displaystyle \frac{\partial^2 \phi_1}{\partial r^2} = -\frac{1}{r} \phi_{0,r}(r) - k^2 \phi_0(r)


    Or, d'après (*) et (**) : \displaystyle \phi_{1,rr} = -\frac{1}{r} \alpha_4 - k^2 (\alpha_4r + \beta_4)

    D'où :

    \begin{align}
    & \phi_{1,r} = -ln(r) \alpha_4 - \alpha_4 \frac{k^2 r^2}{2} - k^2 \beta_4 r + \alpha_4' \\
    \iff & \phi_1 = -(rln(r) + r)\alpha_4 - \alpha_4 \frac{k^2 r^3}{6} - \beta_4 \frac{k^2 r^2}{2} + \alpha_4' r + \beta_4' \\
    \end{align}


    Avec : \displaystyle \alpha_4 = \frac{ik}{1+ ik(r_0 - R)} et \displaystyle \beta_4 = \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}

    |
    \displaystyle \begin{align}
    & \phi_{1}(r_0) = 0 \\
    \iff & -(r_0 ln(r_0) + r_0)\alpha_4 - \alpha_4 \frac{k^2 r_0^3}{6} - \beta_4 \frac{k^2 r_0^2}{2} + \alpha_4' r_0 + \beta_4' = 0 \\
    \iff & \beta_4' = (r_0 ln(r_0) + r_0)\alpha_4 + \alpha_4 \frac{k^2 r_0^3}{6} + \beta_4 \frac{k^2 r_0^2}{2} - \alpha_4' r_0 \\
    \end{align}


    Pour la suite, on pose : \left\{ \begin{align}
    & F(r) = -\alpha_4 ln(r) - \frac{\alpha_4 k^2 r^2}{2} - k^2 \beta_4 r \\
    & G(r) = -\alpha_4 r (ln(r) -1) - \frac{\alpha_4 k^2 r^3}{6} - \frac{\beta_4 k^2 r^2}{2} \\
    \end{align} \right.

    | On a :

    \displaystyle \begin{align}
    & \frac{\partial \phi_{1}(R)}{\partial r} = ik\phi(R) \\
    \iff & F(R) + \alpha_4' = ik(G(R) + \alpha_4' R + \beta_4') \\
    \end{align}



    D'où :

    \left\{ \begin{align}
    & \alpha_4' = \frac{ik(G(R) - G(r_0)) - F(R)}{1 - ik(r_0 - R)} \\
    & \beta_4' = \frac{ik(G(R) - G(r_0)) - F(R)}{1 - ik(r_0 - R)} r_0 + G(r_0) \\
    \end{align} \right.


    |}


    == Notes et références ==

  • Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/BEAUDET - MIGEON - MOBISSON

    Jean-Michel Tanguy : /* Ordres 3 et supérieurs */


    [[File:sae3.png|900px]]
    == Introduction ==
    === Contexte ===
    Aujourd'hui, le changement climatique et l'augmentation de la température constituent des enjeux majeurs pour la planète, et plus spécialement pour les populations vivant le long des côtes avec une importante hausse du niveau des océans Les deux principales causes de ce haussement sont la fonte des glaciers continentaux et la dilatation thermique des océans. Selon l'U.S Global Change Reserach Program for the Fourth National Climate Assessment, entre 1900 et 2018, le niveau moyen des océans s'est élevé d'environ 20 cm, et cela s'accélère à partie de 2020 allant jusqu'à plus de 3,5 mm par an. De nombreux scientifiques estiment que le niveau de la mer pourrait avoir augmenté de 1 à 3 mètres d'ici 2100. Une telle hausse du niveau de la mer pourrait entraîner la suppression de terres ainsi que le déplacement de populations côtières.

    La houle correspond au mouvements de la mer de façon ondulatoire, provoqués des zones de vents lointaines. L'étude suivante a pour but d'étudier son impact sur les littoraux, entraînant de plus en plus de conséquences extrêmes. Ces études utilisent des modélisations numériques représentant la houle, tel que le modèle de Berkhoff constitué d'Equations aux Dérivées Partielles, en prenant en compte une représentation des phénomènes de shoaling, réfraction, diffraction et réflexion des différentes structures le long des côtes.

    === Phénomène de Houle ===

    Lorsque la houle se rapproche des côtes la topographie sous-marine modifie la houle à travers différents phénomènes.

    Réfraction : C'est le phénomène majeur qui a lieu. Plus la houle se rapproche de la côte et donc plus la profondeur diminue plus les lignes de crêtes vont être parallèles au rivage.

    Diffraction : phénomène lorsque la houle rencontre un obstacle plus petit ou une ouverture.


    Réflexion : Ce phénomène a lieu lorsque la houle rencontre une structure profonde et large par rapport à la longueur d'onde de cette dernière.

    Shoaling : Effet des vagues de surfaces entrant dans des eaux moins profondes modifiant ainsi la profondeur des vagues.

    === Modèle de Berkhoff ===

    Le modèle de Berkhoff permet de représenter les phénomènes de réfraction, diffraction et de réflexion que subit la houle. Cette équation a été introduite par Berkhoff en 1973 sous la forme :

    \displaystyle \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0

    Avec :
    \displaystyle \phi : le potentiel

    k : le nombre d’onde fonction de H (profondeur) et de ω (fréquence) avec \omega^2=gk \tanh(kH)

    C : la célérité de l'onde

    Cg : célérité de groupe de vagues

    :'''Les hypothèses pour ce modèle''' :

    Nous nous placerons pour la suite dans un modèle linéaire et donc nous approximerons :

    - C = Cg = \sqrt{gH}

    - h(x,t) = \R\phi e^{-i\omega t} qui correspond à l'évolution dans le temps et la distance de la houle

    === Homotopie ===

    On a suivante à résoudre :

    L(u(x)=f(x)+N(u(x), x \in \Omega

    avec comme conditions limites: B(u,u_n=0), x \in \Gamma

    où L est un opérateur linéaire, N un opérateur non-linéaire et f les termes complémentaires de l’équation.

    L'homotopie de Liao [9] est définie de la manière suivante :

    (1-p)\left[ L(U(x,t);p)-L(u_0(x,t)) \right ] +H(p)\left[ L(U(x,t);p)-N(U(x,t),p)-f(x) \right]

    p \in \left[0,1\right] est un paramètre entre 0 et 1, u0 est une estimation initiale de la solution.

    Lorsque p=0 on a la solution initiale U=u0 et lorsque p=1, on a la solution exacte.

    La transformation de p de 0 à 1 qui à partir de U(x) de la solution estimée donne la solution exacte est issue de la transformation de U(x) en série de Taylor

    U(x)=u_0(x)+\sum_{m=1}^\infty u_m(x)p^m avec u_m(x)=\dfrac{1}{m!}\dfrac{\partial^mU(x,t;p)}{\partial p^m}\Bigr]_{p=0}

    La mise en œuvre de l’homotopie nécessite de faire des hypothèses sur la fonction H(p) qui permet notamment un ajustement des non-linéarités.
    Pour la méthode HAM « Homotopie Perturbation Method », que nous mettrons en œuvre: H(p)=1.


    == Premier Cas ==

    Nous nous plaçons dans le cas d'un canal unidimensionnel de longueur L avec 2 conditions limites.



    [[File:cylindre.png|400px]]



    La condition de Dirichlet : \phi = 1 à l'entrée du canal

    La condition de Robin : \phi_{x} = ik\phi à la sortie du canal

    Pour simplifier la résolution on suppose que ces conditions sont imposées en \x = 0

    On peut alors simplifier l'écriture de l'équation de Berkhoff tel que :

    :: \displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0

    === Solution analytique ===

    On a l'équation : \displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0

    L'équation caractéristique associée s'écrit : x^2+k^2 = 0

    Le déterminant de cette équation vaut : \Delta = -4k^2 < 0

    La solution est donc complexe et s'écrit sous la forme : \phi(x) = A\mathrm{e}^{(-ikx)}+B\mathrm{e}^{(ikx)}

    On peut déterminer les constantes A et B à l'aide des conditions aux limites:

    - \phi(x=0) = A+B = 1

    - \dfrac{\partial \phi}{\partial x}(x=l) = ik\phi

    On en déduit: A = 0 ; B = 1

    On a alors : \phi(x,t) = \mathrm{e}^{(i(kx-\omega t))}

    L'évolution de la hauteur de la houle s'écrit donc :
    h(x,t) = Re(\phi(x,t)) = cos(kx-\omega t)

    === Solution par méthode d'homotopie ===

    On obtient la relation par homotopie à l'aide :

    - de la dérivée seconde qui correspond à l'opérateur linéaire

    - d'une solution initiale nulle \displaystyle (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0

    On remplace ensuite dans la solution initiale nulle la décomposition en série entière (en rouge) et la dérivée de cette dernière (en vert) :

    \displaystyle (1-p)({\color{Green}\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...})+p[{\color{Green}\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)}+...+k^2({\color{Red}\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...})]=0

    Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls. ??

    * Ordre 0
    On a donc p = 0 et \displaystyle \phi_{0,xx}=0

    On obtient la relation suivante : \phi_0=Ax+B
    Avec les conditions initiales on a :

    \phi_{0}(x=0)=1 et donc B = 1

    \Leftrightarrow \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{0}(x=L)

    \Leftrightarrow A=ik(AL+1)

    \Leftrightarrow A=\frac{ik}{1-ikL}

    donc \phi_0=\frac{ik}{1-ikL}x+1

    * Ordre 1
    On a p = 1 et la relation : \displaystyle \phi_{1,xx}=0
    \Leftrightarrow \phi_1= -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2})+Cx+D

    A l'aide des conditions aux limites :

    - \phi_1(x=0) = 0

    - \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_1(x=L)

    On obtient:
    ik(-k^2(\frac{ikL^3}{6(1-ikL)}+\frac{L^2}{2})+CL) =-k^2(\frac{ikL^2}{2(1-ikL)}+L)+C
    \Leftrightarrow C = -\frac{k^2L(k^2L^2+3ik-%3)}{3(1-ikl)^2}

    On a alors : \phi_1 = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2}) -\frac{k^2L(k^2L^2+3ik-%3)}{3(1-ikl)^2}x

    === Ordres 2 et supérieurs ===
    En vue des calculs de plus en plus complexes à réaliser, on utilise le logiciel WSMAXIMA dans le but de trouver \phi à ces ordres.
    Afin de les déterminer, on s'aidera des relations :

    - Longueur : L = 2\lambda (m)

    - Profondeur : H = 40 (m)

    - Longueur d'onde : \lambda = \frac{2\pi}{k} (m)

    - Nombre d'onde : k = \frac{1}{100}

    - Vitesse de l'onde : c = \sqrt{gH}

    On superpose graphiquement la solution analytique (rouge) et la solution par méthode d'homotopie de l'ordre 0 à 5.

    [[File:Cas1_Ordre1.png|400px]]
    [[File:Cas1_Ordre1b.png|400px]]
    [[File:Cas1_Ordre2.png|400px]]

    [[File:Cas1_Ordre3.png|400px]]
    [[File:Cas1_Ordre4.png|400px]]
    [[File:Cas1_Ordre5.png|400px]]


    On constate que la solution par méthode d'homotopie se rapproche de plus en plus de la solution analytique au fur et à mesure que l'ordre augmente.

    == Deuxième Cas ==
    Ce deuxième correspond de même à un canal de longueur L. Néanmoins, nous avons désormais les conditions aux limites :

    - flux en aval : \phi_x(x=0) = ik(2-\phi(x=0))

    - réflexion totale en amont : \phi_x(x=L) = 0

    === Solution analytique ===
    On a l'équation : \displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0

    L'équation caractéristique associée s'écrit : x^2+k^2 = 0

    Le déterminant de cette équation vaut : \Delta = -4k^2 < 0

    La solution est donc complexe et s'écrit sous la forme : \phi(x) = A\mathrm{e}^{(-ikx)}+B\mathrm{e}^{(ikx)}

    On peut déterminer les constantes A et B à l'aide des conditions aux limites:

    - \dfrac{\partial \phi}{\partial x}(x=0) = ik(2-\phi(x=0) \Leftrightarrow -ikA+ikB = ik(2-A-B) \Leftrightarrow B = 1

    - \dfrac{\partial \phi}{\partial x}(x=l) = 0 \Leftrightarrow --ikA\mathrm{e}^{(-ikL)}+ikB\mathrm{e}^{(ikL)} = 0 \Leftrightarrow A = \mathrm{e}^{(2ikL)}

    On a donc :
    h(x,t) = Re(\phi(x,t)) = cos(k(2L-x) - \omega t)


    === Solution par méthode d'homotopie ===
    On procède de la même manière que pour la cas 1 en trouvant \phi aux différents ordres.

    * Ordre 0
    On a pour ce cas p = 0
    On a alors la relation : \phi_{0,xx} = \dfrac{\partial^2 \phi_1}{\partial x^2} = 0

    \Leftrightarrow \phi = Ax+B
    A l'aide des conditions aux limites:

    - \dfrac{\partial \phi_0}{\partial x}(x=0) = ik(2-\phi_0(x=0)) \Leftrightarrow ik(2-B) = 0 \Leftrightarrow B = 2

    - \dfrac{\partial \phi_0}{\partial x}(x=L) = 0 \Leftrightarrow A = 0

    On a donc \phi_0 = 2

    * Ordre 1
    On a pour ce cas p = 1
    On a alors la relation :
    \phi_{1,xx} = \dfrac{\partial^2 \phi_1}{\partial x^2}+k^2\phi_0 = 0 \Leftrightarrow \phi_1 = -k^2x^2+Cx+D

    A l'aide des conditions aux limites :

    - \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x}(x=0) = ik\phi_1(x=0) \Leftrightarrow ikD = 2k^2L \Leftrightarrow D = 2ikL

    - \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x}(x=L) = 0 \Leftrightarrow C = 2k^2L

    On a donc \phi_1 = -k^2x^2+2k^2Lx+2ikL

    ===Ordres 2 et supérieurs===

    Dans le but de trouver \phi aux ordres 2 et supérieurs, on utilisera le logiciel WSMAXIMA.
    On pourra donc, par principe de superposition des solutions analytiques et de celle par méthode d'homotopie, vérifier les solutions obtenues.

    On superpose la solution analytique (rouge) et la solution par méthode d'homotopie des ordres 0 à 5.

    [[File:Cas2_Ordre0.png|400px]]
    [[File:Cas2_Ordre1.png|400px]]
    [[File:Cas2_Ordre2.png|400px]]

    [[File:Cas2_Ordre3.png|400px]]
    [[File:Cas2_Ordre4.png|400px]]
    [[File:Cas2_Ordre5.png|400px]]

    On constate que la solution par méthode d'homotopie se rapproche de plus en plus de la solution analytique au fur et à mesure que l'ordre augmente.

    == Troisième Cas ==
    Pour ce troisième cas on se place dans un domaine de longueur L avec un fond dont la pente est constante. Nous avons deux conditions pour ce modèle qui sont \phi = 1 à l'entrée et \phi_{x} = ik\phi à la sortie.

    On pose aussi les conditions suivantes :

    - k non constant : \displaystyle k(x) = k_0\sqrt{\dfrac{H_0}{H(x)}} = k_0\sqrt{\dfrac{H_0}{H_0 - sx}}

    - CC_g = gH(x)

    On obtient alors pour l'équation de Berkhoff :

    \displaystyle H(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k_0^2H_0 \phi = 0

    === Solution analytique ===

    A l'aide du changement de variable z(x) = H_0 - sx on va obtenir une équation de type bessel et par identification on pourra obtenir \alpha .

    On a alors :

    \displaystyle z(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{k_0^2H_0}{s^2} \phi = 0 \Leftrightarrow \alpha^2 = \frac{k_0^2H_0}{s^2}

    On pose:

    - J_0 la fonction de Bessel de 1ère espèce

    - Y_0 la fonction de Bessel de 2ème espèce

    - A et B constantes

    La solution \phi de l'équation est de la forme :
    \phi(z) = AJ_0(2\alpha \sqrt{z}) + BY_0(2\alpha \sqrt{z})

    A l'aide des condititions aux limites :

    - \phi(0) = 1

    - \phi_x{x=L} = ik\phi(x=L)

    On obtient alors:

    - AJ_0(2\alpha \sqrt{H_1}) + BY_0(2\alpha \sqrt{H_0}) = 1

    - AJ_1(2\alpha \sqrt{H_1})+ BY_1(2\alpha \sqrt{H_0}) = AJ_0(2\alpha \sqrt{H_1}) + BY_0(2 \alpha \sqrt{H_1})

    Puis :

    - A = \frac{Y_1^2 -Y_0^2}{J_0(Y_1^2 -Y_0^2)-Y_0(J_1^2 -iJ_0^2)}

    - \displaystyle B = \frac{iJ_0^2 -J_1^2}{J_0(Y_1^2 -Y_0^2)-Y_0(J_1^2 -iJ_0^2)}

    La solution s'écrit donc :

    \displaystyle \phi(z) = \frac{Y_1^2- Y_0^2}{J_0(Y_1^2- Y_0^2)-Y_0(J_1^2 -iJ_0^2)} J_0(2\alpha \sqrt{z}) + \frac{iJ_0^2 -J_1^2}{J_0(Y_1^2 -Y_0^2)-Y_0(J_1^2 -iJ_0^2)}Y_0(2\alpha \sqrt{z})

    === Solution par méthode d'homotopie ===
    On utilise l'équation: H(x)\phi_xx(x) + H'(x)\phi_x(x) + k^2H(x)\phi(x) = 0 avec H(x) = H_0 -sx

    Avec la relation d'homotopie, on revient à résoudre le système:

    - \phi_{0,xx} = 0

    - \phi_{1,xx} = -k^2(H_0-sx)\phi_0+s\phi_{0,x}-(H_0-sx-1)\phi_{0,xx}

    *Ordre 0
    On avait \phi_{0,xx} = 0
    Donc \phi_0 = Ax+B avec A et B constantes à déterminer avec les conditions aux limites

    A l'aide des conditions aux limites :

    - \phi_0{x=0} = 1 \leftrightarrow B = 1

    - \frac{\partial \phi_0}{\partial x}(x=L) = ik(AL+B) \leftrightarrow A = \frac{ik}{1-ikL}

    On obtient finalement :

    \phi_0(x) = \frac{ik}{1-ikL}x+1

    == Quatrième Cas ==
    Ce cas ci traite d'une vague sphérique générée par une source sinusoïdale périodique.
    La source est appliquée autour d'un cercle de rayon r_0 centré dans un domaine circulaire de rayon R, avec sortie libre de l'onde en r = R.
    Dans ce cas-là, l'équation de Berkhoff se simplifie en équation de Helmholtz, et peux s'exprimer en coordonnées polaires.
    on a ainsi les conditions suivantes :

    - \phi_{rr} + \frac{1}{r}\phi_r + k^2\phi = 0 (symétrie de révolution, donc indépendant de \theta )

    - \phi(r=r_0) = 1

    - \phi_r(r=R) = ik \phi(r=R)

    Dans le cas des coordonnées polaires, l'équation de Berkhoff se simplifie en équation de Helmhotz: \Delta \phi +k^2\phi = 0

    Ce qui donne donc l'équation : \dfrac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} + \dfrac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi = 0


    === Solution analytique ===

    On pose :

    - J_0 fonction de Bessel de première espèce

    - Y_0 fonction de Bessel de 2ème espèce

    - A et B constantes

    On a alors \phi sous forme d'équation de Bessel : \phi(r) = AJ_0(r) + BY_0(r)

    A l'aide des conditions aux limites :

    - AJ_0(r_0) + BY_0(r_0) = 1

    - AJ'_0(R) + BY'_0(R) = ik(AJ_0(R) + BY_0(R))

    - \dfrac{\partial r^n J_n(r)}{\partial r} = r^n J_{n-1}(r)

    - J_{-1}(n) = -J_1(n)

    On en déduit :

    - A = \frac{ikY_0(R)+Y_1(R)}{ikY_0(R)J_0(r_0)+Y_1(R)J_0(r_0)-ikJ_0(R)-J_1(R)Y_0(r_0)}

    - B = (1-J_0(r_0)\frac{ikY_0(R)+Y_1(R)}{ikY_0(R)J_0(r_0)+Y_1(R)J_0(r_0)-ikJ_0(R)-J_1(R)Y_0(r_0)}) \frac{1}{Y_0(r_0)}

    On a donc finalement :

    \phi(r) = \frac{ikY_0(R)+Y_1(R)}{ikY_0(R)J_0(r_0)+Y_1(R)J_0(r_0)-ikJ_0(R)-J_1(R)Y_0(r_0)}J_0(r) + (1-J_0(r_0)\frac{ikY_0(R)+Y_1(R)}{ikY_0(R)J_0(r_0)+Y_1(R)J_0(r_0)-ikJ_0(R)-J_1(R)Y_0(r_0)}) \frac{1}{Y_0(r_0)}Y_0(r)

    === Solution par méthode d'homotopie ===

    On procède de la même manière que pour la cas 1 en trouvant \phi aux différents ordres.

    * Ordre 0
    On a pour ce cas p = 0
    On a la relation : \phi_0,rr = 0 \Leftrightarrow \phi_0 = Ar+B

    A l'aide des conditions aux limites :

    - \phi_0(r=r_0) = 1 \Leftrightarrow Ar_0+B = 1

    - \phi_r(r=R) = ik \phi(r=R) \Leftrightarrow A = ik(AR+B)

    On a donc : A = \frac{ik}{1+ik(r_0-R)} et B = \frac{1-ikR}{1+ik(r_0-R)}

    On en déduit alors :
    \phi_0 = \frac{ik}{1+ik(r_0-R)} r + \frac{1-ikR}{1+ik(r_0-R)}

    * Ordre 1
    On a pour ce cas la relation :

    \phi_{1,rr} + \frac{1}{r}\phi_{0,r} + k^2\phi_0 = 0 \leftrightarrow \phi_1(r) + \frac{ik}{1+ik(r_0-R)}r(\ln(r)-1) + \frac{ik}{6(1+ik(r_0-R))}r^3 + \frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}r^2 + Cr + D = 0

    A l'aide des conditions aux limites suivantes :

    - \phi_1(r=r_0) = 1

    - \phi_r(r=R) = ik \phi(r=R)

    On en déduit donc :

    - C = \frac{1}{1+ik(r_0-R)}(ik(AR(\ln(R)-1)\frac{ik}{1+ik(r_0-R)}+\frac{ik}{6(1+ik(r_0-R))}R^3 + \frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}R^2 - A\ln(R) - \frac{ik}{2(1+ik(r_0-R))}R^3-\frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}R)-A\ln(R) - \frac{ik}{2(1+ik(r_0-R))}R^3-\frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}R)

    - D = \frac{1}{1+ik(r_0-R)}(A\ln(R) + \frac{ik}{2(1+ik(r_0-R))}R^3+\frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}R - ik(AR(\ln(R)-1)\frac{ik}{1+ik(r_0-R)}+\frac{ik}{6(1+ik(r_0-R))}R^3 + \frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}R^2 - Ar_0(\ln(r_0)-1)\frac{ik}{1+ik(r_0-R)}-\frac{ik}{6(1+ik(r_0-R))}r_0^3 - \frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}r_0^2))r_0 -Ar_0(\ln(r_0)-1)\frac{ik}{1+ik(r_0-R)}-\frac{ik}{6(1+ik(r_0-R))}r_0^3 - \frac{1-ikR}{2(1+ik(r_0-R))}


    === Ordre 2 et supérieurs ===

    Dans le but de trouver \phi aux ordres 2 et supérieurs, on utilisera le logiciel WSMAXIMA.
    On pourra donc, par principe de superposition des solutions analytiques et de celle par méthode d'homotopie, vérifier les solutions obtenues.

  • Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022/GRAFTIEAUX - PORTZ - REMY

    Jean-Michel Tanguy : /* Solution analytique */


    == Introduction ==

    === Contexte et enjeux climatiques ===

    Le réchauffement climatique a des effets physiques et écologiques directs tels que le recul du trait de côte, les submersions temporaires ou permanentes des terres basses, l’augmentation de l’intensité des évènements climatiques, l’érosion du littoral… En effet, selon le rapport du GIEC, le niveau de la mer pourrait s’élever de plus d’un mètre, voire deux, d’ici la fin du siècle. A titre de comparaison, le niveau de la mer a augmenté de 20 cm entre 1901 et 2018.

    Afin de contrer les effets de l’érosion du littoral, 126 communes en France ont été considerées comme prioritaires par le gouvernement : parmi celles-ci, celles qui n’ont pas encore de plan de prévention des risques littoraux devront cartographier l’évolution du trait de côte dans 30 ans et 100 ans, qui permettront de mettre en place de nouvelles règles d’urbanisme comme des interdictions de construire.

    Il est donc nécessaire de pouvoir modéliser les phénomènes physiques liés à la montée des eaux pour pouvoir déterminer quelles règles d’aménagement du territoire sont adaptées : c’est ce que permet de faire le modèle de Berkhoff, constitué d’une équation aux dérivées partielles.

    === Le modèle de Berkhoff et les hypothèses ===

    Le modèle de Berkhoff a été établi en 1976 dans le but de combiner les effets de la réfraction et de la diffraction dans un seul modèle .
    Les hypothèses de ce modèle sont :

    -Houles de faibles amplitudes

    -Approximation mild-slope (qui considère que la pente des fonds marins est douce)

    L’équation de Berkhoff, aussi appelée équation “mild slope” est la suivante :

    \bigtriangledown.(CC_{g}\nabla\phi) + k^{2}CC_{g}\phi = 0


    {| class="wikitable"
    |-
    ! Symbole !! Signification
    |-
    | \phi || Potentiel
    |-
    | C || Célérité de l'onde
    |-
    | C_{g} || Célérité de groupe des vagues
    |-
    | k || Nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence \omega
    |}

    On a \omega^{2}=gk tan(kH)
    De plus, dans le domaine des ondes longues, dans lequel nous nous plaçons, on a C=C_{g}=\sqrt{gH}.
    La hauteur de la houle en fonction du temps peut être modélisée par l'équation h(x,t)=\Re(\phi.e^{−i\omega.t}).

    Ainsi, l'équation de Berkhoff devient :


    \Delta\phi + k^{2}\phi = 0.


    === L'homotopie ===

    On cherche à résoudre l'équation de Berkhoff à l'aide de la méthode de l'homotopie. L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Pour ce faire on introduit un paramètre p variant entre 0 et 1. Quand p = 0 on a la solution initiale, et quand p = 1 on a la solution exacte de l'équation. Cette méthode permet de modéliser un milieu complexe par un milieu plus simple qui facilite les calculs.

    On va donc chercher à trouver la solution de l'équation :

    (1−p)L(\phi-\omega)+pH(p)(\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi)=0


    == Cas 1 ==

    On se place dans un canal monodimensionnel plat de longueur L.

    - Condition de Dirichlet : À l'aval on a une onde de fréquence unitaire \phi = 1.

    - Condition de Robin : À l'amont l'onde est de fréquence \phi_{x} = ik\phi

    On impose ces conditions limites en x = 0 et en x = L, ce qui est équivalent à imposer les deux conditions en x=0.

    L'équation de Berkhoff devient alors : \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0

    === Solution analytique ===

    On a donc l'équation \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0

    L'équation caractéristique associée est donc : x^{2}+k^{2}=0

    \Delta=-4k^{2}>0

    Le déterminant étant négatif, on a deux racines complexes et on obtient donc \phi(x)=Ae^{-ikx} + Be^{ikx} .

    Les conditions limites permettent de déterminer les constantes A et B:

    * \phi(0) = A + B = 1
    * \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}(x=L)=ik\phi


    On obtient ainsi A = 0 et B = 1.

    Ainsi on a \phi(x)=e^{ikx} .

    === Solution homotopique ===

    On reprend l'équation

    (1-p)\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial^{2}x} + p(\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi) = 0


    On remplace dans cette équation :

    * \phi(x)=\phi_{0}(x) + p\phi_{1}(x) + p^{2}\phi_{2}(x) + p^{3}\phi_{3}(x) + ...

    * \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = \dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}} + p\dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}} + p^{2}\dfrac{\partial^{2}\phi_{2}(x)}{\partial x^{2}} + ...

    On obtient alors :


    (1-p)(\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}} + p\dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}} + p^{2}\dfrac{\partial^{2}\phi_{2}(x)}{\partial x^{2}} + ...) + p(\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}} + p\dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}} + p^{2}\dfrac{\partial^{2}\phi_{2}(x)}{\partial x^{2}} + ... + k(\phi_{0}(x) + p\phi_{1}(x) + p^{2}\phi_{2}(x) + p^{3}\phi_{3}(x) + ...)) = 0.


    Ainsi, comme cette équation est valable pour toutes les valeurs de p, on en déduit par identification que les coefficients devant les p^{k} sont nuls.

    ==== Ordre 0 ====


    \dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}}=0

    On intègre deux fois et on obtient : \phi_{0}(x)= Ax + B

    On trouve A et B en prenant en compte les conditions limites :

    * \phi_{0}(x=0) = 1 \Leftrightarrow B=1
    * \dfrac{\partial^{2}\phi_{0}}{\partial x^{2}}(x=L) = ik\phi_{0}(x=L) \Leftrightarrow A= ik(AL+B) \Leftrightarrow A=\dfrac{ik}{1-ikL}

    ==== Ordre 1 ====


    \dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}}-\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\phi_{0}(x)}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi_{1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{\partial^{2}\phi_{1}(x)}{\partial x^{2}}= -k^{2}\phi
    \Leftrightarrow
    \dfrac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}}=\dfrac{-ik^{3}x}{1-ikL}-k^{2}
    \Leftrightarrow
    \phi_{1}=\dfrac{1}{6}\dfrac{ik^{3}}{1-ikL}x^{3}-\dfrac{k^{2}}{2}x^{2}+Ax+B


    Comme
    \phi^{0}_{1}=0 , on a B=0

    De plus, \dfrac{\partial\phi_{1}^{L}}{\partial x}=ik\phi_{1}^{L}

    On obtient donc A= \dfrac{-k^{2}L}{3(1-ikL)^{2}}(k^{2}L^{2}+3ik- 3)

    Ainsi \phi_{1}=\dfrac{1}{6}\dfrac{ik^{3}}{1-ikL}x^{3}-\dfrac{k^{2}}{2}x^{2}-\dfrac{k^{2}L}{3(1-ikL)^{2}}(k^{2}L^{2}+3ik- 3)x
    \Leftrightarrow
    \phi_{1}=\dfrac{-k^{2}L(k^{2}L^{2}+3ik- 3)}{3(1-ikL)^{2}}x-k^{2}(\dfrac{ik}{6(1-ikL)}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2})

    == Cas 2 ==
    On se place dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec une entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire.

    Les conditions aux limites sont :


    * \phi_{x}(x=0)=ik(2-\phi(x=0) (1)

    * \phi(x=L)=0 (2)

    L'équation de Berkhoff nous donne :

    \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0 (E)

    === Solution analytique ===

    On a donc : \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+k^{2}\phi=0 (E)

    L'équation caractéristique associée à (E) est : x^{2}+k^{2}=0

    x_{1}= ik et x_{2}= -ik

    D'où \phi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}

    On trouve A et B à l'aide des conditions aux limites :

    (1) -ikB+ikA=ik(2-(A+B)\Rightarrow A=1

    (2) -ikBe^{-ikL} + ikAe^{ikL}=0\Rightarrow B=e^{2ikL}

    On obtient donc :

    \phi(x)= e^{ikx}+e^{ik(2L-x)}

    === Solution par homotopie ===

    La relation d’homotopie est : \phi_{0xx} + p\phi_{1xx} + pk^{2}(\phi_{0} + p\phi_{1}) = 0


    ==== Ordre 0 ====

    Par identification, on obtient : \phi_{0xx}(x) = 0 \Rightarrow \phi_{0}(x) = Ax + B

    Avec les conditions aux limites explicitées plus haut, on détermine les valeurs des deux constantes.

    A = \phi_{0x}(x = 0) = 0

    0 = \phi_{0x}(x = 0) = ik(2 - \phi_{0}(x = 0))=ik(2-B) \Rightarrow B = 2

    Finalement, \phi_{0}(x) = 2

    ==== Ordre 1 ====

    De même on a par identification : \phi_{1xx} = -k^{2}\phi_{0}

    Par double intégration on en déduit \phi_{1} = -k^{2}x^{2} + Ax + B

    Avec les conditions aux limites on trouve :

    A = 2k^{2}L et B = \dfrac{A}{ik} = -2ikL

    Finalement, \phi_{1}(x) = -k^{2}x^{2} + 2k^{2}Lx - 2ikL

    == Cas 3 ==

    Pour ce cas, nous étudions un canal monodimensionnel avec une pente de fond constante égale à
    s .

    Les conditions aux limites sont les suivantes :

    - Entrée à l’aval d’une onde de fréquence unitaire : \phi(x=0) = 1

    - Sortie libre à l’amont : \phi_{x}(x=L) = ik\phi

    Avec la pente, la hauteur H est désormais variable et vaut : H(x) = H_{0} - sx

    H_{0} représente la hauteur à l’origine et s est la pente.

    L’équation de Berkhoff s’écrit : \nabla(CC_{g}\nabla\phi) + k^{2}CC_{g}\phi = 0

    Ce qui nous donne : H\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dH}{dx} + k^{2}H\phi =
    0 (1)


    === Solution analytique ===

    On effectue un changement de variable. On pose : z(x) = H_{0} - sx

    L’équation (1) est donc équivalente à :

    z\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} - s\dfrac{\partial\phi}{\partial x} + H_{0}k_{0}^{2}\phi =
    0

    \Leftrightarrow
    z\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial\phi}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x}) -
    s\dfrac{\partial\phi}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial x} + H_{0}k_{0}^{2}\phi = 0 d’après le théorème de Schwartz.

    \Leftrightarrow -sz\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial\phi}{\partial z}) +
    s^{2}\dfrac{\partial\phi}{\partial z} + H_{0}k_{0}^{2}\phi = 0 (2)

    Il reste une étape pour obtenir la fonction de Bessel de la forme :


    z\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} + \dfrac{\partial\phi}{\partial z} + \alpha^{2}\phi = 0

    Or : \dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial\phi}{\partial z}) =
    \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial x\partial z} =
    \dfrac{\partial}{\partial z}(\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial\phi}{\partial z}) = -
    s\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}

    Donc l’équation (2) est équivalente à :


    z\dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} + \dfrac{\partial\phi}{\partial z} +
    \dfrac{H_{0}k_{0}^{2}}{s^{2}}\phi = 0

    On pose : \alpha^{2} = \dfrac{H_{0}k_{0}^{2}}{s^{2}}

    On obtient donc une équation de Bessel qui a pour solution :

    \phi(z)(x) = AJ_{0}(2\alpha\sqrt{z(x)}) + BY_{0}(2\alpha\sqrt{z(x)})

    Avec :

    * A et B qui sont des constantes à déterminer à l’aide des conditions aux limites
    * J_{0} une fonction de Bessel de première espèce à l’ordre 0
    * Y_{0} une fonction de Bessel de deuxième espèce

    On a z(x = 0) = H_{0} et on pose H_{1} = z(x = L) = H_{0} - sL

    En utilisant les conditions aux limites \phi_{0} = 1 et \phi_{x}(x = L) =
    ik\phi(x=L) , on obtient les deux équations suivantes :

    AJ_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}}) + BY_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}}) = 1

    AJ_{1}(2\alpha\sqrt{H_{1}}) + BY_{1}(2\alpha\sqrt{H_{1}}) = i(AJ_{0}(2\alpha\sqrt{H_{1}}) +
    BY_{0}(2\alpha\sqrt{H_{1}}))

    En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues, et en simplifiant la notation on en
    déduit les valeurs des deux constantes.

    A = \dfrac{Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}


    B = \dfrac{-(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}


    La solution finale s’écrit donc :

    \phi(z) = \dfrac{Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}J_{0}(2\alpha\sqrt{z}) + \dfrac{-(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}Y_{0}(2\alpha\sqrt{z})

    === Solution par homotopie ===

    L’équation initiale est la suivante : H(x)\phi_{xx}(x) + H'(x)\phi_{x}(x) + k^{2}H(x)\phi(x) = 0

    On note \varepsilon = \dfrac{s}{H_{0}}

    L’équation ci-dessus en homotopie nous donne (1-p)(1-\varepsilon x)\phi_{xx} + p[(1-
    \varepsilon x)\phi_{xx} - \varepsilon \phi_{x} + k_{0}^{2}\phi] = 0

    On ne se préoccupe que des ordres 0 et 1, donc :

    (1-p)(1-\varepsilon x)(\phi_{0xx} + p\phi_{1xx}) + p[(1-\varepsilon x)(\phi_{0xx} +p\phi_{1xx}) - \varepsilon (\phi_{0x} + p\phi_{1x}) + k_{0}^{2}(\phi_{0} + p\phi_{1})] = 0

    Par identification on obtient les solutions pour les différents ordres.

    ==== Ordre 0 ====

    On s’intéresse au coefficient d’ordre 0.

    \phi_{0xx}(1 - \varepsilon x) = 0 \Rightarrow \phi_{0xx} = 0 \Rightarrow \phi_{0}(x) = Ax + B


    Avec les conditions aux limites \phi_{0} = 1 et \phi_{x}(x = L) = ik\phi(x=L)
    , on en déduit :

    B = 1

    A = ik(AL +1) \Leftrightarrow A = \dfrac{ik}{1-ikL}

    D’où la solution \phi_{0}(x) = \dfrac{ik}{1-ikL}x + 1

    == Cas 4 ==
    === Solution analytique ===


    \phi(r=r_{0})=\dfrac{\partial\phi}{\partial r}(r=R)=ik\phi(r=R)

    L'équation de Berkhoff se simplifie en équation de Helmholz :
    \Delta\phi+k^{2}\phi=0

    En utilisant les coordonnées polaires, on obtient :
    \dfrac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}+\dfrac{d\phi}{\partial r}+k^{2}\phi=0 (1)

    On met (1) sous forme d'équation de Bessel :

    Donc \phi(r)= AJ_{0}(r)+BY_{0}(r) avec A,B \in \mathbb{C}, J_{0} fonction de Bessel de première espèce et Y_{0} fonction de Bessel de 2e espèce.

    On a les conditions aux limites suivantes :

    * AJ_{0}(r_{0})+BY_{0}(r_{0})=1
    * AJ'_{0}(R)+BY'_{0}(R)= ik(AJ_{0}(R)+BY_{0}(R))



    * \dfrac{\partial (r^{n}J_{n}(r))}{\partial r}=r^{n}J_{n-1}(r)
    * J_{-1}(r)=-J_{1}(r)

    On obtient ainsi :

    A=\dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)} {Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)}



    B=\dfrac{1}{Y_{0}(r_{0})}(1-J_{0}(r_{0})\dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)}{Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)})


    D'où

    \phi(r)= \dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)} {Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)}J_{0}(r) + \dfrac{1}{Y_{0}(r_{0})}(1-J_{0}(r_{0})\dfrac{Y_{1}(R)+ikY_{0}(R)}{Y_{1}(R)J_{0}(r_{0})+ikY_{0}(R)J_{0}(r_{0})-J_{1}(R)Y_{0}(r_{0})-ikJ_{0}(R)})Y_{0}(r)


    === Solution homotopique ===

    On a l'équation :

    (1-p)\phi_{rr}+p(\phi_{rr}+\dfrac{1}{r}\phi_{r}+k^{2}\phi=0)


    ==== Ordre 0 ====

    Comme dans les cas précédents, en décomposant :

    (1-p)(\phi_{0,rr}+p\phi_{1,rr})+p(\phi_{0,rr}+p\phi_{1,rr}+k^{2}(\phi_{0}+p\phi_{1}))

    \phi_{rr}(r)=0 \Leftrightarrow \phi(r)= Ar + B

    D'après les conditions limites, on a :

    Ar_{0}+B=1

    A=ik(Ar+B)

    Ceci nous permet de déterminer les constantes A et B. On a donc :

    B= 1-Ar_{0} (1)

    A= ik(ARAr_{0}) (2)


    (2)\Rightarrow A(1-ik(R-r_{0}))=ik \Rightarrow A=\dfrac{ik}{1-ik(R-r_{0})}


    (1)\Rightarrow B = 1-\dfrac{r_{0}ik}{1-ik(R-r_{0})} = \dfrac{1-ikR}{1-ik(R-r_{0})}

    D'où

    \phi_{0}(r)=\dfrac{ik}{1-ik(R-r_{0}})r + \dfrac{1-ikR}{1-ik(R-r_{0})}

    ==== Ordre 1 ====

    On obtient cette équation d'homotopie :


    \phi_{1,rr}+\dfrac{1}{r}\phi_{0,r}+k^{2}\phi_{0}=0


    \Leftrightarrow\phi_{1,r}+Aln(r)+k^{2}(A\dfrac{r^{2}}{2}+Br)+C=0


    \Leftrightarrow\phi_{1}+A(rln(r)-r)+k^{2}(A\dfrac{r^{3}}{6}+B\dfrac{r^{2}}{2})+Cr+D=0

    On garde A et B les mêmes constantes qu'à l'ordre 0.

    En utilisant les conditions aux limites on trouve C et D:


    C=\dfrac{ik(E-F)-F}{1-ik(R-r_{0})}


    D=\dfrac{F-ik(E-G)}{1-ik(R-r_{0})}r_{0}-G



    *E=(Rln(R)-R)A+\dfrac{Ak^{2}}{2}+B\dfrac{k^{2}}{2}R^{2}
    * F=Aln(R)+\dfrac{Ak^{2}R}{2}+\dfrac{Bk^{2}}{2}
    * G=(r_{0}ln(r_{0})-r_{0})A+\dfrac{Ak^{3}}{6}r_{0}^{3}+B\dfrac{k^{2}}{2}R^{2}r_{0}^{2}

    D'où :


    \phi_{1}(r)=-A(rln(r)-r)-k^{2}(A\dfrac{r^{3}}{6}-B\dfrac{r^{2}}{2})-\dfrac{ik(E-F)-F}{1-ik(R-r_{0})}r-\dfrac{F-ik(E-G)}{1-ik(R-r_{0})}r_{0}+G

  • Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2021/DESCHAUMES - REBER - RICHARDEAU

    Jean-Michel Tanguy : /* Étude de sensibilité */


    Pour retourner à la page énoncé du sujet : [[Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2022]]

    [[File:en tête Sae 3.jpg|880px]]




    =='''Contexte et enjeux climatiques'''==
    D'ici à 2050, l'avancée de la mer pourrait être une menace pour des centaines de milliers de Français. Sous les effets conjugués de l'érosion des côtes et de la montée des océans liées au réchauffement climatique qui fait fondre la glace continentale et entraîne une dilatation thermique des océans, c’est 10 % de la population française pour 4 % du territoire qui vont devoir déménager. Selon les derniers rapports du GIEC, Le groupe d'experts international sur l'évolution du climat, il faut s’attendre en Europe d’ici la fin du siècle, a avoir des augmentations du niveau de la mer de 50cm à 1m.


    Sur le long terme, plusieurs mégalopoles sont vouées à disparaître telle que Miami, Jakarta ou Rotterdam. En France, la côte aquitaine est elle aussi menacée. Si rien est fait, le bassin d’Arcachon, l’île de Ré ou l’île d’Oléron pourraient être submergées. Et d’ici 2050 ce phénomène pourrait être encore plus répandu. Durant l’automne dernier, la communauté internationale s'est donnée rendez-vous à Glasgow pour accélérer les efforts contre le changement climatique lors de la COP 26.


    Notre contribution en tant que chercheur dans cette catastrophe mondiale, pourrait être de fournir des modèles réalistes de l’effet de cette montée des eaux sur le littorale. Ces modèles serviront de preuves convaincantes afin de faire prendre prendre conscience aux élus régionaux des risques de la montée des eaux qui nous menacent. Mais au delà des élus, cette modélisation pourrait aussi servir d’argument pour convaincre les administrés, les citoyens de quitter leur maison quand elle est trop près de la mer et qu’elle est en danger.



    =='''La houle et ses phénomènes ondulatoires - interaction avec la topographie'''==

    Notre étude a pour but la modélisation de la forme de la houle au niveau des côtes. À son arrivée près du littoral, le mouvement et la forme de la houle sont influencés par la bathymétrie locale. Ces milieux inhomogènes lentement variables laissent apparaître de nombreux phénomènes caractéristiques en modèle ondulatoire :
    ''Le shoaling, la réfraction, la diffraction, la réflexion et le déferlement''.

    '''Le shoaling :''' La houle est une onde de période donnée, et dont la longueur d’onde dépend de la profondeur d’eau. On observe une diminution de la longueur d’onde lorsque la profondeur d’eau diminue, et inversement. De même on observe une augmentation de la hauteur des vagues plus la profondeur est faible. En effet, dans les domaines ou la profondeur en eau est plus faible, le flux d’énergie de la houle devant rester constant, et la réduction de la vitesse de groupe s’opérant, la densité en énergie est plus importante, ce qui se compense par une plus grande hauteur des vagues.



    [[File:shoaling.jpg|400px|vignette|centré|Phénomène de Shoaling de la houle]]



    '''La refraction :''' Ce phénomène a lieu dans les zones ou la profondeur est suffisamment pour que la profondeur ait une influence sur la vitesse de la houle. Comme avec le shoaling, la vitesse diminue quand la profondeur diminue. Les fronts d’onde qui arrivent avec un angles non nul par rapport à la côte, changent d’orientation pour se rapprocher des isobathes et arriver avec une tangente à la plage parallèle en tout point de l’onde.
    On observe dans les baies une augmentation la longueur d’onde, se qui se traduit par une répartition de l’énergie dans l’espace ; alors qu’au niveau d’un cap, le ralentissement de la houle entraîne un rapprochement des crêtes d’onde.


    [[File:REFRACTION.jpg|400px|vignette|gauche|Phénomène de réfraction de la houle]]
    [[File:refraction houle réaliste.jpg|400px|vignette|centré|modèle réaliste de la réfraction de la houle
    O.Thual :

    http://thual.perso.enseeiht.fr/xsee/ch8/allpdf/00main.pdf]]




    '''La diffraction :'''La diffraction est observable lorsqu’un train d’ondes rencontre un obstacle près de la côte tel qu’une digue, un quai, un épi… Cette rencontre affaiblit la houle en sa partie, ce qui fait diminuer localement son amplitude. Cette différence d’amplitude le long d’une ligne de crête entraîne un transfert d’énergie transversal dans le sens décroissant du gradient d’amplitude. Ce transfert tend à uniformiser l’amplitude sur toute la ligne de crête. Ce transfert d‘énergie permet donc d’expliquer comment les vagues contournent des obstacles et pourquoi il y a de l’agitation derrière.


    [[File:diffraction.jpg|400px|vignette|gauche|transfert d’énergie transversal ]]
    [[File:diffraction et diffusion en zone d'ombre.jpg|400px|vignette|centré|diffraction + réffraction de la houle derrière un obstacle]]


    '''La réflexion :'''La réflexion en physique est le brusque changement de direction d'une onde à l'interface de deux milieux. Après réflexion l'onde reste dans son milieu de propagation initial. Des ondes mécaniques comme les vagues peuvent subir ce type de phénomène. Ce phénomène suit deux lois:

    *Il y a égalité entre angle d'incidence et angle de réflexion.

    *L'onde réfléchie se propage dans le même milieu que l'onde incidente.




    '''Le déferlement :'''Le déferlement des vagues est la déformation rapide du profil de l'onde, associé à la production de turbulence. L'onde qui déferle perd ainsi son énergie.Dans les deux cas, outre la production d'énergie turbulente, le déferlement aboutit aussi à un transfert de quantité de mouvement : c'est le déferlement des vagues qui est la cause principale de l'accélération des courants de surface que l'on associe au vent.

    *Dans le cas des vagues de longueur d'onde supérieure à un mètre, ce déferlement est généralement associé à une instabilité hydrodynamique de la crête de la vague, qui conduit à l'entrainement d'air sous la surface et la formation d'écume.

    *Pour les vagues les plus courtes, leur énergie est insuffisante pour former des bulles d'air, et le déferlement se manifeste par un bourrelet turbulent.

    Le principe du déferlement des vagues est très simple : la vitesse de propagation d'une vague diminue en même temps que la profondeur de l'eau. En arrivant sur un rivage incliné, les nouvelles vagues rattrapent donc les anciennes, moins rapides, et leur font prendre de l'ampleur jusqu'à créer un état instable, qui se résout alors par le déferlement.




    =='''Principe de calcul'''==
    ==='''Méthode de Berkhoff''' ===



    L’équation de Berkhoff est une équation aux dérivées partielles permettant de représenter les effets de réfraction, diffraction et de réflexion auxquels les vagues sont sujettes.

    Cette équation est utilisable si on se trouve en situation de houle à faible amplitude et sous l'hypothèse de mild-slope (pente faible du fond marin).

    Lorsque qu'on se place en modèle bi-dimensionnel l'équation a pour forme: \displaystyle\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0


    Avec:

    *\phi est le potentiel,

    * K est le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence ω, par la relation implicite \omega^2=gk \tanh(kH) ,

    * C est la célérité de l’onde,

    * C_g est la célérité de groupe des vagues


    Ce modèle nous permet de modéliser les changements de hauteur des vagues près des côtes.

    Pour résoudre cette équation nous utilisons l'homotopie.


    === '''homotopie''' ===


    L'homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de déformation continue d'un objet à un autre. Cette méthode permet lorsqu'on est face à un problème complexe, de résoudre un problème plus simple et de passer d'une solution à une autre grâce à un paramètre p compris entre 0 et 1.


    === '''Hypothèses''' ===


    L'utilisation de la méthode de Berkhoff engendre des simplifications car nous sommes en modèle linéaire:

    Puisque nous sommes dans le domaine des ondes longues on peut écrire : C=C_g=\sqrt{gH}

    De plus, l'évolution dans le temps de la hauteur de houle est donnée par : h(x,t)=\Re \left (\phi e^{-i\omega t} \right )


    =='''Cas n°1 : Canal monodimensionnel plat avec une sortie libre en amont '''==



    Pour ce cas nous travaillons sur un canal plat de longueur L.


    Les conditions aux limites sont:

    * Condition de Dirichlet : On modélise à l'entrée une onde de fréquence unitaire \phi = 1

    * Condition de Robin : On modélise la sortie libre par l'amont \phi_{x} =ik\phi


    Par soucis de simplification, nous imposons ces deux conditions en x=0. On peut montrer que l'application de ces 2 conditions en x=0 et x=L correspond à une situation équivalente.


    Dans cette situation l'équation de Berkhoff peut se simplifier et s'écrire en domaine unidimensionnel:


    \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} \label{eq:1}


    === '''Solution analytique''' ===


    En symétrie plane l’amplitude complexe Φ^{*} ne dépend que de x

    Les solutions complexes sont cherchées sous la forme

    Φ^{*}(x)=A^{*}e^{γx}

    ce qui implique

    γ^{2}+k^{2}=0\Longrightarrow γ=±ik , soit deux solutions A^{*}e^{-ikx} et B^{*}e^{+ikx}



    On peut déterminer les amplitudes complexes grâce aux conditions limites:

    * En amont: Φ^{*}(x=0)=A^{*}+B^{*}=1

    * En aval: \dfrac{\partial ϕ^{*}}{\partial x}=-ikA^{*}e^{-ikx} + ikB^{*}e^{ikx} \Longleftrightarrow ik(-A^{*}e^{-ikx} + B^{*}e^{ikx}) or \dfrac{\partial ϕ^{*}}{\partial x}=ikΦ = ik(=+A^{*}e^{-ikx} + B^{*}e^{ikx}) (conditions aux limites)

    ainsi \boxed{-A^{*}=A^{*}=0}



    La solution réelle Φ(x,t) associée à Φ^{*}(x)=B^{*}e^{kx} est Φ(x,t)=Re(Φ^{*}e^{-iωt})= Re(B^{*}e^{ikx}e^{-iωt})=|B^{*}|cos(kx-ωt+φ)=Bcos(kx-ωt+φ) avec \boxed{B=1}


    On a donc :
    \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=\cos(kx-wt)}

    [[File:gifanim4.gif|600px|vignette|centré]]

    === '''Solution par homotopie''' ===


    Pour obtenir la relation d'homotopie on utilise la dérivée seconde comme opérateur linéaire ainsi qu'une solution initiale nulle:


    (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0




    On utilise la décomposition en série entière de \phi(x,p) et de \phi_{xx}(x,p)

    *\phi(x,p =\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...

    *\phi_{xx}(x,p) =\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...


    Ce qui donne:

    \phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + \cdots = -k^2(p\phi_0(x) + p^2\phi_1(x) + p^3\phi_2(x) + p^4\phi_3(x) + \cdots)



    La résolution de cette équation est alors celle du système linéaire suivant, par liberté de la famille (1,p,p^2,p^3,\cdots) : \left\{
    \begin{eqnarray}
    \phi_{0,xx}(x) & = & 0 &&&(1.1)\\
    \phi_{1,xx}(x) & = & -k^2 \phi_0(x) &&&(1.2)\\
    \phi_{2,xx}(x) & = & -k^2 \phi_1(x) &&&(1.3)\\
    \phi_{3,xx}(x) & = & -k^2 \phi_2(x) &&&(1.4)\\
    &.& \\
    &.& \\
    &.& \\
    \end{eqnarray}
    \right.



    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | ordre 0
    |-
    | width="50%" |

    On a la relation d'homotopie suivante: \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow \phi_{0} = Ax+B


    On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

    * \phi_{0}(x=0)=1 \Longleftrightarrow B=1

    * \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{0}(x=L) \Longleftrightarrow A=ik(AL+B) \Longleftrightarrow A=\frac{ik}{1-ikL}


    On a donc finalement:
    \boxed{\displaystyle\phi_{0} =\frac{ik}{1-ikL}x+1}



    |}

    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | Ordre 1

    |-
    | width="50%" |

    On a la relation d'homotopie suivante :


    \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} = k^2\phi_{0}= 0

    \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2\iint\phi_{0}\mathrm{d}x\mathrm{d}x + A'x + B'

    \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2}) + A'x + B'



    On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :



    En amont: x=0:

    \begin{align}
    & \phi_{1}(x=0)=0 \Longleftrightarrow B'=0 \\
    \end{align}



    En aval: x=L

    \begin{align}
    & \frac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{1}(x=L) \\
    \iff & -k^2(\frac{ikL^2}{2(1-ikL)}+L) + A' =ik(-k^2(\frac{ikL^3}{6(1-ikL)}+\frac{L^2}{2}) + A'L)\\
    \iff & A' = \frac{k^2L}{3(1-ikL)^2}(3 - 3ikL - 3ikL) \\
    \end{align}




    On a donc finalement:

    \boxed{\displaystyle\phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{k^2L}{3(1-ikL)^2}(3 - 3ikL - 3ikL)x}



    |}


    ==== '''Ordre supérieurs:''' ====
    Afin de trouver \phi aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.


    Pour cela, on utilise les relations suivantes:

    - k=\frac{1}{100} : nombre d'onde en m-1

    - H=40 : profondeur en m

    - c=\sqrt{gH} : célérité de l'onde en m/s

    - \lambda=\frac{2\pi}{k} : longueur d'onde en m

    - L=2\lambda : longueur du domaine en m


    Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:





    [[File:ezgif.com-gif-maker(12).gif|600px|vignette|centré]]

    ==== '''Étude de sensibilité''' ====
    Influence de la période des vages:



    [[File:gifanim2D-T=1s.gif|300px]]
    [[File:gifanim2D-T=3s.gif|300px]]
    [[File:gifanim2D-T=15BIso'.gif|300px]]


    T=1s &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;T=3s &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;T=10s

    =='''Cas n°2: Domaine monodimensionnel plat '''==


    Dans cette deuxième partie, nous sommes également dans le cas d'un canal plat de longueur L . Nous avons cependant des conditions aux limites différentes:


    Les conditions aux limites sont:

    * Un flux en aval : \phi_{x}(x=0) =ik(2-\phi(x=0))

    * Une réflexion totale en amont : \phi_{x}(x=L) = 0


    On peut donc simplifier l'équation de Berkhoff de la même manière que le cas 1: \boxed{\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0}


    === '''Solution analytique''' ===

    On écrit l'équation caractéristique associée a: \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi = 0

    On a : x^{2} + k^{2} = 0

    Afin de résoudre cette équation du second degrés on calcul son discriminant: \Delta = -4k^{2} < 0 . Il y a donc 2 racines complexes et :

    \phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx}


    On peut déterminer les constantes grâce aux conditions limites:

    * \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi(x=0) \Longleftrightarrow -ikA + ikB = ik(2-(A+B)) \Longleftrightarrow B=1

    * \dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow -ikAe^{-ikL}+ikBe^{ikL} = 0 \Longleftrightarrow A=e^{2ikL}


    D'où :
    \boxed{\phi(x)=e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} }


    et donc:
    \boxed{\phi(x,t)=e^{i(k(2L-x)-wt)}+e^{i(kx-wt)}}


    On a donc :
    \boxed{h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=cos(k(2L-x)-wt)+cos(kx-wt)}


    === '''Solution par homotopie''' ===


    On utilise les mêmes outils que pour le cas 1




    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | ordre 0
    |-
    | width="50%" |

    On a la relation d'homotopie suivante : \ phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 et donc /phi = Ax+B


    On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

    * \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A=0

    * \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi_{0}(x=0) \Longleftrightarrow 0=ik(2-B) \Longleftrightarrow B=2


    On a donc finalement:
    \boxed{\displaystyle\phi_{0} = 2 }



    |}

    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | ordre 1
    |-
    | width="50%" |

    On a la relation d'homologie suivante : \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} + k^2\phi_{0}= 0 \Longleftrightarrow \phi_{1} = -k^2x^2 + A'x + B'


    On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

    * \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A'=2k^2L

    * \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=0)=ik\phi_{1}(x=0) \Longleftrightarrow 2k^2L=ikB' \Longleftrightarrow B' = -2ikL


    On a donc finalement:

    \boxed{\displaystyle\phi_{1} = -k^2x^2 + 2k^2Lx - 2ikL}



    |}

    ==== '''Ordres supérieurs''' ====


    Afin de trouver \phi aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.


    Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:


    [[File:homotopie cas 2.gif|600px|vignette|centré]]

    =='''Cas n°3: Domaine monodimensionnel avec pente'''==


    Dans cette troisième partie, nous avons canal monodimensionnel avec un fond de pente constante s = 1/200 . On a également une onde de fréquence unitaire qui entre par l'aval et en amont une sortie libre.




    [[File:gifanim2.gif|600px|vignette|centré]]


    Les conditions aux limites sont:

    * En aval : \phi = 1

    * En amont : \phi_{x} = ik\phi


    Pour la simplification de l'équation de Berkhoff, le cas est plus compliqué car: H(x) n'est plus égal à Ho mais à H(x) = Ho - sx


    On repart donc du modèle de Berkhoff : \displaystyle ∇.(CCg∇ϕ)+k^2CCgϕ=0

    On a: C=Cg =\sqrt{gH(x)} ,


    il vient:

    \displaystyle ∇.(CCg∇ϕ)+k^2CCgϕ=0
    On a donc: \boxed{\displaystyle H(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + ko^2Ho \phi = 0}


    ==='''Solution analytique'''===



    La profondeur se traduit par cette équation: : H(x) = Ho - sx

    On prend K, le nombre de d'ondes, non constant : \displaystyle k(x) = ko\sqrt{\frac{Ho}{Ho-sx}}


    On obtient donc l'équation suivante : \displaystyle (Ho - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + ko^2Ho \phi = 0


    Cette équation n'est de type Bessel , nous cherchons donc à mettre l'équation sous la forme : \displaystyle z\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \alpha^2 \phi = 0


    On effectue ensuite un changement de variable: z(x) = Ho - sx ,

    On obtient donc l'équation : \boxed{\displaystyle z(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{ko^2Ho}{s^2} \phi = 0}


    On a donc : \displaystyle \alpha^2 = \frac{ko^2Ho}{s^2}


    La solution de cette équation est la suivante: \boxed{ \phi(z) = B J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + C Y_0 (2 \alpha \sqrt{z})}

    Avec:

    *J_0 : fonction de Bessel de 1ère espèce à l’ordre 0

    *Y_0 : fonction de Bessel de 2ème espèce

    * B et C : des constantes à déterminer grâce aux conditions limites



    On peut déterminer les constantes grâce aux conditions limites qui sont:


    *\phi(0) = 1 donc x = 0 et z = H_{0}

    *\phi_{x}(x=L) = ik\phi(x=L)


    On obtient don les équations suivantes:

    BJ_{0}(2\alpha \sqrt H_{0}) + CY_{0}(2\alpha \sqrt H_{0}) = 1

    BJ_{1}(2\alpha \sqrt H_{1}) + CY_{1}(2\alpha \sqrt H_{1}) = i(BJ_{0}(2\alpha \sqrt H_{1}) + CY_{0}(2\alpha \sqrt H_{1}))



    On obtient ainsi l'expression des constantes:


    \left\{ \begin{align}
    & B = \frac{(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} \\
    & C = \frac{- (J_{1}^{2} - iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} \\
    \end{align} \right.


    On a donc :
    \boxed{ \phi(z) =\frac{(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) +\frac{- (J_{1}^{2} - iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2}) - Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})} Y_0 (2 \alpha \sqrt{z})}



    === '''Solution par homotopie''' ===
    Dans ce cas, il y a une pente au niveau de la cote. Il faut donc que la hauteur de la houle ne soit jamais supérieure à la profondeur qui varie.


    On part de l'équation: H(x) \phi_{xx}(x) + H'(x) \phi_{x}(x) + k^2 H(x) \phi(x) = 0


    Or, H(x) = H_0 - sx

    En posant : \epsilon = \frac{s}{H_0}


    Donc, la relation d'homotopie est:

    \displaystyle (1 – p)(1 - \epsilon x) \phi_{xx} + p ((1 - \epsilon x) \phi_{xx} - \epsilon \phi_{x} + k_0^2 \phi) = 0


    A l’aide de la décomposition en série entière de \displaystyle \phi et de ses dérivées, on obtient :

    \displaystyle (1 – p)(H_0 - s x) * (\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) + p * ((1 - s x) * (\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) - s * (\phi_{0,x} + p\phi_{1,x}(x) + p^2\phi_{2,x}(x) + p^3\phi_{3,x}(x) + …) + k_0^2 * (\phi_{0} + p\phi_{1}(x) + p^2\phi_{2}(x) + p^3\phi_{3}(x) + …)= 0

    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | ordre 0
    |-
    | width="50%" |

    On a la relation d'homotopie suivante: (1 - \epsilon x) \phi_{0,xx} = (1 - \epsilon x) \frac{\partial^{2}\phi_0}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow \phi_{0}(x) = A x + B

    On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

    * En x = 0 : \phi_0(0) = 1 \Longrightarrow B = 1 et \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = ik\phi_0 & \frac{\partial\phi_0}{\partial x} = A \Longrightarrow A = ik\phi_0

    * En x = L : A = ik\phi_0 et B = 1 Or : \frac{\partial \phi_0}{\partial x}(x = L) = ik(A L + B) donc, A = \frac{ik}{1-ikL}

    On a donc finalement: \displaystyle \phi_{0}(x) = \frac{ik}{1 - ikL}x + 1


    |}


    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | ordre 1
    |-
    | width="50%" |



    On a cette fois la relation suivante : (1 - \epsilon x) \phi_{1,xx} - (1 - \epsilon x) \phi_{0,xx} + (1 - \epsilon x) \phi_{0,xx} - \epsilon x \phi_{0,x} + k_0^2 H_0 = 0 \Longleftrightarrow (1 - \epsilon x) \phi_{1,xx} - \epsilon x \frac{ik}{1 - ikL} + k_0^2 H_0 = 0



    Posons A = \frac{ik}{1 - \epsilon x} [\epsilon \frac{ik}{1 - ikL} - k_0^2 H_0]


    D'où : \phi_{1} = \frac{A}{2} x^2 + Bx + C



    Par les CL, on a :

    \phi_{1,xx}(0) = 0 \Longleftrightarrow C=0


    \phi_{1,x}(L) = ik[\frac{A}{2} l^2 + BL] \Longleftrightarrow AL + B = ik[\frac{A}{2} L^2 + BL \Longleftrightarrow B = \frac{ikAL^2 - 2AL}{2(1-ikL)}



    D'où : \phi_{1} = \frac{ik}{2(1 - \epsilon x)} [\epsilon \frac{ik}{1 - ikL} - k_0^2 H_0] x^2 + \frac{ikAL^2 - 2AL}{2(1-ikL)}x


    |}

    ==== '''Ordres supérieurs''' ====


    Afin de trouver \phi aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.


    Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:


    [[File:homotopie cas 3.gif|600px|vignette|centré]]

    =='''Cas n°4: Domaine infini avec une grande profondeur '''==



    Dans cette quatrième partie, nous sommes dans le cas d' une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale.

    Dans ce cas, nous travaillons à modéliser les variations de la surface libre à nouveau mais dans le périmètre d'un domaine infini et avec un profondeur importante. la source est ponctuelle et autour du cercle de rayon r_0 et qui a pour centre un second domaine circulaire de rayon R . Ce dernier domaine laisse sortir librement l'onde pour r=R .


    Les conditions aux limites sont :
    * \phi(r=r_0)=1
    * \frac{\partial \phi}{\partial r}(r=R)=ik\phi(r=R)


    Il faut désormais simplifier l'équation de Berkhoff afin de pouvoir la résoudre:

    Dans ce cas elle se simplifie en équation de Helmholtz et s'exprime en coordonnées polaires avec les conditions suivantes \displaystyle\boxed{ \Delta \phi + k^2\phi=0 }


    Puisque nous sommes en coordonnées polaires, la relation précédente s'écrit de manière simplifiée puisque le problème est dans un symétrie de révolution et est donc indépendant de \theta .


    Dans cette situation l'équation de Berkhoff peut donc s'écrire: \boxed{\displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0}


    ==='''Solution analytique'''===

    On a donc une équation de Bessel : \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r} + k^2\phi=0 .

    Il y a donc une une forme général de solution qui est : \phi(r)=AJ_0(r)+BY_0(r)


    Nous avons:

    * J_0 : fonction de Bessel de 1ère espèce

    * Y_0 : fonction de Bessel de 2ème espèce

    * A et B : constante


    On peut déterminer les constantes grâce aux conditions limites:


    * AJ_0(r_0)+BY_0(r_0)=1

    * AJ_0'(R)+BY_0'(R)=ik\ (AJ_0(R)+BY_0(R))



    On sait également que :


    * \displaystyle\frac{\partial r^nJ_n(r)}{\partial r} = r^nJ_{n-1}(r)

    * J_{-1}(r) = -J_1(r)


    En combinant on a donc :

    * A = \displaystyle\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}

    * B = \displaystyle\frac{1 }{Y_0(r_0)} \left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)



    On a donc: \displaystyle\phi(r)=\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}J_0(r)+\frac{1 }{Y_0(r_0)}\left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)Y_0(r)


    ==='''Solution par homotopie'''===



    Nous avons la relation d'homologie suivante :

    (1-p)\phi_{rr}+p(\phi_{rr}+\frac{1}{r}.\phi_{r}+k^2\phi)=0


    Nous utilisons à nouveau la décomposition en séries entières: \phi(r,p)=\phi_0(r)+p\phi_1(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+...

    Ainsi que sa seconde dérivée : \phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...


    Ce qui donne: (1-p)(\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...)+p[\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...+k^2(\phi_0(r)+p\phi_0(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+...)]=0


    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | ordre 0
    |-
    | width="50%" |



    On a la relation d'homotopie suivante: \phi_{rr}(r)=0 \Longleftrightarrow \phi(r)=Ar + B


    On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :

    * Ar_0 + B = 1 \Longleftrightarrow B = 1 - Ar_0

    * A = ik(AR + B) \Longleftrightarrow A = ik(AR + 1 - Ar_0) \Longleftrightarrow A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}

    * B = 1 - \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}r_0 \Longleftrightarrow \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}




    On a donc finalement: \displaystyle \phi_0(r) = \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}r + \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}


    |}

    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-
    ! scope="col" | Ordre 1
    |-
    | width="50%" |


    On a la relation d'homotopie suivante:
    \begin{align}
    & \displaystyle \phi_{1,rr}(r) + \frac{1}{r} \phi_{0,r}(r) + k^2 \phi_0(r) =0 \\
    \iff & \displaystyle \phi_{1,r}(r) = - Aln(r) - \frac{Ak^2r^2}{2} - k^2Br + C\\
    \iff & \displaystyle\phi_1(r) =- A r(ln(r)-1) - \frac{Ak^2}{6}r^3 - \frac{Bk^2}{2}r^2 + Cr + D = 0 \\
    \end{align}



    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="0" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-

    | width="50%" | Avec :
    * A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}
    * B = \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}

    | width="50%" | Posons :
    \left\{ \begin{align}
    & u(r) = - Aln(r) - \frac{Ak^2r^2}{2} - k^2Br \\
    & v(r) = - A r(ln(r)-1) - \frac{Ak^2}{6}r^3 - \frac{Bk^2}{2}r^2 \\
    \end{align} \right.
    |}





    D'où :
    \left\{ \begin{align}
    & \phi_{1,x}(r) = \displaystyle u(r) + C \\
    & \phi_1(r) = \displaystyle v(r) + Cr + D = 0 \\
    \end{align} \right.




    On peut ensuite calculer les constantes grâce aux conditions aux limites :


    * \displaystyle \phi_1(r_0) = 0 \Longleftrightarrow \displaystyle v(r_0) + Cr_0 + D = 0 \Longleftrightarrow \displaystyle D = -(Cr_0 + v(r_0))

    * \displaystyle \phi_{1,r}(R) = ik\phi_1(R) \Longleftrightarrow \displaystyle u(R) + C = ik(v(r) + CR + D)



    \Longleftrightarrow
    \left\{ \begin{align}
    & * \displaystyle C = \frac{ik(v(R)-v(r_0)) - u(R)}{1 - ik(r_0 - R)} \\
    & * \displaystyle D = \frac{ik(v(R)-v(r_0)) - u(R)}{1 - ik(r_0 - R)}r_0 + v(r_0) \\
    \end{align} \right.
    |}



    ₰==== '''Ordres supérieurs''' ====


    Afin de trouver \phi aux ordres supérieurs, on utilise le logiciel WXMAXIMA.


    Afin de vérifier les solutions, on peut donc superposer la solution analytique et la solution par homotopie:



    {| cellspacing="1" cellpadding="1" border="0" style="width: 893px; height: 100px;"
    |-

    | width="50%" | 1ère cellule de mon tableau
    | width="50%" | 2ème cellule de mon tableau
    |}

jeudi 31 mars 2022

samedi 26 mars 2022

  • Indice de vide (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Porosity, emptiness index''

    Dernière mise à jour : 26/03/2022

    Rapport du volume des vides d’un matériau au volume total ; ce paramètre permet d'évaluer la quantité d'eau qui peut être stockée par unité de volume du matériau.

    ==Lien entre indice de vide et porosité==

    L'indice de vide d'un matériau est égal à sa [[Porosité (HU)|porosité]] efficace. La notion d'indice de vide est cependant plus générale que celle de porosité qui ne s'applique normalement qu'aux matériaux poreux. On peut par exemple dire que l'indice de vide d'une cuve est de 1 alors que parler de sa porosité n'a pas de sens.

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Solutions_alternatives_et_compensatoires_(HU)]]
    [[Catégorie:Dimensionnement_des_ouvrages_de_stockage_(HU)]]

mardi 22 mars 2022

  • Puits vortex (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Vortex shaft''

    Voir : [[Vortex (puits) (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Ouvrages_autres_(HU)]]

vendredi 11 mars 2022

  • Piquage (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Voir Raccord de piquage (HU) Catégorie:Dictionnaire_DEHUA Catégorie:Ouvrages_de_surface_et_branchement_et_d'accès_(HU) »


    Voir [[Raccord de piquage (HU)]]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Ouvrages_de_surface_et_branchement_et_d'accès_(HU)]]

  • Raccord de piquage (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : branch fitting ''

    Dernière mise à jour : 11/03/2022

    Mode de raccordement d'un [[Branchement (HU)|branchement]] sur une conduite.

    ==Principe==

    Le piquage consiste à percer le collecteur à un diamètre correspondant à celui du branchement et à utiliser une pièce de raccord ([[Selle de branchement (HU)|selle]] ou [[Tulipe (HU)|tulipe]])

    Pour en savoir plus :
    * Agence de l'eau Seine Normandie (2015) : Les branchements au réseau d'assainissement ; 68p. ; disponible sur [https://www.pseau.org/outils/ouvrages/ae_seine_normandie_les_branchements_au_reseau_d_assainissement_2015.pdf www.pseau.org]

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Ouvrages_de_surface_et_branchement_et_d'accès_(HU)]]

mardi 8 mars 2022

  • Résine drainante (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Porous resin concrete''

    Dernière mise à jour : 26/03/2022

    [[Béton de résine (HU)|Béton de résine]] drainant.

    ==Intérêt des résines drainantes==

    L'utilisation d'une résine de synthèse à la place (ou en complément) du ciment pour fabriquer un [[Béton drainant (HU)|béton drainant]] présentent plusieurs avantages, en particulier :
    * La résistance mécanique plus grande du liant diminue les risques d'érosion de surface (pelurage, arrachement de grains, etc.) ;
    * La possibilité de réaliser des revêtements de surface plus élaborés en termes de couleur ou d'aspect est très appréciée en aménagement urbain.

    Voir aussi : [[Matériau drainant (HU)]].

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Génie_civil_,_techniques_de_travaux,_ouvrages_divers_(HU)]]
    [[Catégorie:Solutions_alternatives_et_compensatoires_(HU)]]

  • Béton de résine (HU)

    Bernard Chocat :


    ''Traduction anglaise : Porous concrete''

    Dernière mise à jour : 08/03/2022

    [[Béton (HU)|Béton]] pour lequel on utilise une résine de synthèse à la place (ou en complément) du ciment.

    ==Intérêt des bétons de résine==

    Les bétons de résine présentent beaucoup d'intérêt par rapport au béton traditionnel :
    * meilleure résistance mécanique ;
    * prise et durcissement plus rapide ;
    * meilleure résistance à différents agents agressifs ;
    * possibilité de réaliser des revêtements de surface plus élaborés en termes de couleur ou d'aspect (caractéristique très appréciée en aménagement urbain).

    En revanche leur coût est beaucoup plus élevé.

    Du fait de l'excellente qualité du liant, ce matériau convient bien comme [[Matériau drainant (HU)|matériau drainant]], par exemple pour les pavés préfabriqués ; on parle parfois de [[Résine drainante (HU)|résine drainante]].

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Génie_civil_,_techniques_de_travaux,_ouvrages_divers_(HU)]]

lundi 7 mars 2022

  • Fluorimétrie (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « ''Traduction anglaise : '' Dernière mise à jour : 07/03/2022 Méthode de dosage utilisant la propriété de certaines molécules d'être fluorescente ; o... »


    ''Traduction anglaise : ''

    Dernière mise à jour : 07/03/2022

    Méthode de dosage utilisant la propriété de certaines molécules d'être fluorescente ; on mesure la fluorescence qui est proportionnelle à la concentration pour connaître cette dernière.

    [[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
    [[Catégorie:Hydrométrie_et_débitmétrie_(HU)]]
    [[Catégorie:Station_de_mesures_et_réseau_de_mesures_(HU)]]

mercredi 2 mars 2022

  • IVB (HU)

    Bernard Chocat : Page créée avec « Sigle pour Indice Volumique de Boue ; Voir Indice de Mohlman / IM (HU) »


    Sigle pour Indice Volumique de Boue ; Voir [[Indice de Mohlman / IM (HU)]]

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